Прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны. а) Докажите, что AA₁ = AC.б) Найдите

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Спроектируем наклонную $AB_1$ на плоскость $CAA_1,$ ее проекцией является прямая $AC_1$ Так как $CA_1\perp AB_1,$ по теореме о трех перпендикулярах, следует, что $CA_1\perp AC_1$ Таким образом, в прямоугольнике $ACC_1A_1$ диагонали перпендикулярны, поэтому он является квадратом, следовательно, $AA_1=AC$ б) Из п. а) следует, что $A_1C\perp AB_1C_1$ и пересекается с ней в середине $AC_1$ Пусть M — середина $AC_1,$ тогда искомое расстояние равно расстоянию между проекциями прямых на плоскость $AB_1C_1,$ то есть расстоянию от точки M до прямой $AB_1$ Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника $AB_1C_1,$ проведённой к гипотенузе: $d ( M, AB_1 ) = \frac{AC_1 \cdot B_1C_1}{2AB_1} = \frac{\sqrt{2} AC \cdot BC}{2 \sqrt{2AC^{2} + BC^{2}}} = \sqrt{2}$