Плоскость α проходит через середины двух противоположных ребер

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Пусть точки M₁, M₂, M₃ и M₄ — середины рёбер AB, CD, BC и AD соответственно. Плоскость сечения проходит через точки M₁ и M₂ параллельно AM₃. Построим сечение: прямая M₁N₂ параллельна прямой AM₃ (N₂ — точка на ребре BC). Точка S — точка пересечения прямой M₁N₂ с прямой AC. Точка N₁ — точка пересечения прямой SM₂ с прямой AD. Тогда M₁N₁M₂N₂ — искомое сечение. Точка M₁ — середина ребра AB, тогда по теореме Фалеса отрезки BN₂ и N₂M₃ равны, а также $\frac{CA}{AS} = \frac{CM_3}{M_3N_2} = \frac{2}{1}$ и $\frac{CS}{SA} = \frac{3}{1}$ По теореме Менелая для треугольника ADC получим $\frac{DM_2}{M_2C} \cdot \frac{CS}{SA} \cdot \frac{AN_1}{N_1D} =1 \Leftrightarrow \frac{AN_1}{N_1D} = \frac{1}{3}$ Таким образом, $\frac{AN_1}{N_1M_4} =1= \frac{AM_1}{M_1B} ,$ следовательно, прямая M₁N₁ параллельна прямой BM₄, значит, сечение M₁N₁M₂N₂ параллельно прямой BM₄. б) Заметим, что прямые M₁N₁ и M₁N₂ перпендикулярны, при этом M₁N₁ = M₂N₂ =