Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Пусть плоскость α — секущая, точка О — центр шара. Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость α, пусть точка F — основание этого перпендикуляра.

   Пусть точка X — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости α. По теореме Пифагора имеем $OX^{2} = OF^{2} + FX^{2}$ Отрезок OX не больше радиуса R шара, поэтому $FX \leqslant \sqrt{R^{2} - OF^{2}} ,$ то есть любая точка сечения шара плоскостью α находится от точки F на расстоянии, не большем $\sqrt{R^{2} - OF^{2}} ,$ следовательно, она принадлежит шару. Это значит, что любая точка сечения шара плоскостью α лежит в круге с центром в точке F. Обратно: любая точка X этого круга принадлежит шару и лежит в плоскости α, а это значит, что сечение шара плоскостью α есть круг с центром в точке F. б) Рассмотрим сечение, проходящее через общий центр шаров и центры сечений — кругов. Обозначение центра, точки касания и точек пересечения поверхностей шаров с плоскостями α и β дано на рисунке.

   Отрезок FD — радиус круга, полученного в сечении меньшего шара плоскостью α, тогда $S_ альфа = Пи \cdot FD^{2} = 8$ — площадь сечения меньшего шара плоскостью α.Отрезок AB — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью β, тогда $S_ бета = Пи \cdot AB^{2} = 5$ — площадь сечения большего шара плоскостью β.Отрезок CF — радиус круга, полученного в сечении большего шара плоскостью α.Параллельные прямые AB и CF перпендикулярны прямой AF. Из прямоугольных треугольников OFC и OFD соответственно получаем: $OF^{2} = OC^{2} - CF^{2} = OD^{2} - FD^{2} ,$ откуда $CF^{2} = OC^{2} - OD^{2} + FD^{2} = OB^{2} - OA^{2} + FD^{2} = AB^{2} + FD^{2}$ Площадь сечения большего шара плоскостью α равна $S = Пи \cdot CF^{2} = Пи \cdot AB^{2} + Пи \cdot FD^{2} = 13$