На ребрах BB₁ и BC выбраны точки D и E соответственно так, что B₁D = BE

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Пусть точка H — середина B₁C₁, тогда прямая A₁H перпендикулярна прямой B₁C₁ по свойству равностороннего треугольника, прямая A₁H перпендикулярна прямой BB₁ по свойству правильной призмы, таким образом, прямая A₁H перпендикулярна плоскости BCC₁ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, значит, точка H — ортогональная проекция точки A₁ на плоскость BCC₁.Прямоугольные треугольники B₁DH и BDE равны по двум катетам $( B_1H=BD=3,$ $B_1D=BE=1 ) ,$ значит, $\angle B_1DH + \angle BDE=90^{\circ},$ $\angle EDH=180^{\circ} - \angle B_1DH - \angle BDE=90^{\circ}$ Таким образом, проекция прямой A₁D на плоскость BCC₁ перпендикулярна прямой DE, значит, прямая A₁D перпендикулярна прямой DE по теореме о трех перпендикулярах.б) Из рассуждения п. а) угол A₁DH — искомый, а его тангенс равен отношению A₁H к DH.