На ребрах AA₁ и A₁C₁ выбраны точки M и N соответственно так, что AM =

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Пусть H — середина AC, тогда прямая BH перпендикулярна прямой AC по свойству равностороннего треугольника, прямая BH перпендикулярна AA₁ по свойству правильной призмы, таким образом, прямая BH перпендикулярна плоскости ACC₁ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, значит, точка H — ортогональная проекция точки B на плоскость ACC₁.Прямоугольные треугольники AMH и A₁MN равны по двум катетам $( AH=A_1M=3,$ $AM=A_1N=2 ) ,$ значит, $\angle AMH + \angle A_1MN=90^{\circ},$ $\angle NMH=180^{\circ} - \angle AMH - \angle A_1MN=90^{\circ}$ Таким образом, проекция прямой BM на плоскость ACC₁ перпендикулярна прямой MN, значит, прямая BM перпендикулярна MN по теореме о трех перпендикулярах.б) Из рассуждения п. а) угол BMH — искомый, а его тангенс равен отношению BH к MH.