На боковом ребре АА₁, равном 4, выбрана точка М такая, что угол ВМС₁

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Если прямоугольный треугольник является равнобедренным, то равны его катеты, поэтому $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1 = 90^{\circ},$ а по теореме Пифагора $AC = A_1C_1 = 2 \sqrt{2}$ Пусть $AM = x,$ тогда для треугольника BMC₁ по теореме Пифагора получаем $BC_1^{2} = BM^{2} + MC_1^{2} ,$ откуда $BC_1^{2} = BM^{2} + MC_1^{2} = AM^{2} + AB^{2} + A_1M^{2} + A_1C_1^{2} =$ $= x^{2} + 4 + ( 4 - x )^{2} + ( 2 \sqrt{2} )^{2} = x^{2} + 4 + 16 - 8x + x^{2} + 8 = 2x^{2} - 8x + 28$ $BC_1^{2} = BM^{2} + MC_1^{2} = AM^{2} + AB^{2} + A_1M^{2} + A_1C_1^{2} =$ $= x^{2} + 4 + ( 4 - x )^{2} + ( 2 \sqrt{2} )^{2} =$ $= x^{2} + 4 + 16 - 8x + x^{2} + 8 = 2x^{2} - 8x + 28$ Аналогично из треугольника BCC₁ находим: $BC_1^{2} = BC^{2} + CC_1^{2} = 2^{2} + 4^{2} = 20,$ то есть $2x^{2} - 8x + 28 = 20 \Leftrightarrow x^{2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ Рассмотрим призму ABCA₂B₂C₂, равную данной и имебщей с ней общее основание ABC.