M является серединой ребра BB₁, а точка N — середина ребра A₁C₁.

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Пусть точка D — середина отрезка B₁M, а точка P — середина отрезка B₁C₁. Через точку D проведём прямую параллельную AM, точку пересечения этой прямой и ребра AA₁ обозначим E. Четырехугольник DMAE — параллелограмм, по определению. Тогда $AE=DM= \frac{AA_1}{4}$ и $A_1E= \frac{3}{4} AA_1$ Точку пересечения прямых DP и CC₁ обозначим K, точку пересечения прямых KE и A₁C₁ обозначим L. Углы DPB₁ и KPC₁ равны как вертикальные, тогда прямоугольные треугольники DPB₁ и KPC₁ равны по катету и прилежащему острому углу, откуда $KC_1=DB_1= \frac{AA_1}{4}$ Углы KLC₁ и ELA₁ равны как вертикальные, тогда прямоугольные треугольники KLC₁ и ELA₁ подобны и $\frac{LC_1}{LA_1} = \frac{KC_1}{EA_1} = \frac{AA_1 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot AA_1} = \frac{1}{3}$ Значит, точка L — середина отрезка NC₁. Тогда PL — средняя линия треугольника NB₁C₁, следовательно, PL параллельна NB₁, а значит прямая NB₁ параллельна плоскости DEP. Прямая AM параллельна DE, следовательно, прямая AM параллельна плоскости DEP. Таким образом, плоскость α, которая параллельна прямым AM и B₁N и проходит через середину отрезка B₁M — это плоскость DEP, и, значит, она проходит через точку P — середину отрезка B₁C₁.б) Сечением призмы плоскостью α является четырехугольник LEDP. Медиана B₁N перпендикулярна A₁C₁, тогда и LP перпендикулярна A₁C₁ и по теореме о трех перпендикулярах наклонная KL перпендикулярна LP, значит, треугольник KLP — прямоугольныйВычислим длины некоторых отрезков: $ED= \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2 корень из 5 ,$ $DK= \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2 корень из 5 ,$ $LK= \sqrt{1^{2} + плюс 1^{2}} = корень из 2 ,$ $LP= \frac{1}{2} NB_1= \frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot корень из 3}{2} = корень из 3$ Треугольник EDK равнобедренный, DF — его высота, проведённая к основанию. DF параллельна B₁N, тогда DF параллельна LP, значит, LP — средняя линия треугольника FDK. Тогда $S_LEDP= S_EDK - S_KLP=2 S_FDK - S_KLP= 2 \cdot 4 \cdot S_KLP - S_KLP=7S_KLP,$ следовательно, $S_LEDP=7S_KLP=7 \cdot \frac{1}{2} \cdot KL \cdot LP= 7 \cdot \frac{1}{2} \cdot корень из 2 \cdot корень из 3 = \frac{7 корень из 6}{2}$