$BC=8$ Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Пусть плоскость APT пересекает отрезок MD в точке E, а прямая PT пересекает продолжение BC в точке Q. Применим теорему Менелая: $\frac{CP}{PM} \cdot \frac{MT}{TB} \cdot \frac{BQ}{QC} =1$ Отсюда $BQ:QC=1:3,$ а значит $DQ:QC=2:3,$ ведь D — середина BC. Применим теорему Менелая: $\frac{CP}{PM} \cdot \frac{ME}{ED} \cdot \frac{DQ}{QC} =1$ Отсюда $ME:ED=3:2$ А это и требовалось доказать.б) Проведём высоту AD треугольника ABC. В то же время AD — высота пирамиды MPTA, опущенная из вершины A на плоскость основания MPT. Имеем: $AD= \frac{BC \sqrt{3}}{2} = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3}$ Площадь треугольника MPT составляет $\frac{3}{8} S_BCM$ Следовательно, $S_MPT= \frac{3BC^{2} \sqrt{3}}{32} = \frac{3 \cdot 64 \sqrt{3}}{32} =6 \sqrt{3}$ Найдём объём пирамиды: $V= \frac{1}{3} S_MPT \cdot AD= \frac{1}{3} \cdot 6 \sqrt{3} \cdot 4 \sqrt{3} = 24$