5 и $B C= \sqrt{23}$ Длины боковых рёбер пирамиды $S A=2 \sqrt{15} ,$

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] a) В треугольнике SAB имеем: $S B^{2} =85=60 + 25=S A^{2} + A B^{2} ,$ поэтому треугольник SAB прямоугольный с гипотенузой SB и прямым углом SAB. Аналогично в треугольнике SAD из равенства $S D^{2} =83=60 + 23=S A^{2} + A D^{2}$ получаем, что $\angle S A D=90 в степени ( \circ )$ Прямая SA перпендикулярна прямым AB и AD, поэтому прямая SA перпендикулярна плоскости ABD. Получили, что ребро SA — высота пирамиды SABCD. б) На прямой AB отметим такую точку E, что BDCE — параллелограмм, тогда $B E=D C=A B$ и DB = CE. Угол между прямыми SC и BD равен углу между прямыми SC и СЕ. Найдём угол SCE. В прямоугольных треугольниках ABD, SAC и SAE: $A C=B D=C E= \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} =4 \sqrt{3}$ $S C= \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} =6 \sqrt{3} ,$ $S E^{2} =S A^{2} + A E^{2} =160$ По теореме косинусов в треугольнике SCE: $S E^{2} =S C^{2} + C E^{2} - 2 S C \cdot C E \cdot \cos \angle S C E ,$ следовательно, $160=108 + 48 - 144 \cos \angle S C E \Leftrightarrow \cos \angle S C E= - \frac{1}{36}$ Угол SCE — тупой, значит, искомым углом является смежный с ним угол, он равен $\arccos \frac{1}{36}$