5, BC = 3 и AA₁ = 4.а) Докажите, что плоскость α содержит точку D₁.б)

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] Приведем решение при помощи векторов. Введём базис $\overrightarrow{A} B,$ $\overrightarrow{A} D,$ $\overrightarrow{A} A_1$ Длины базисных векторов известны: 5, 3 и 4 соответственно. а) Достаточно показать, что вектор $\overrightarrow{M} D_1$ перпендикулярен вектору $\overrightarrow{A} C_1:$ $\overrightarrow{M} D_1 \cdot \overrightarrow{A} C_1= ( - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} B + \frac{1}{2} \overrightarrow{A} D + \frac{1}{2} \overrightarrow{A} A_1 ) \cdot ( \overrightarrow{A} B + \overrightarrow{A} D + \overrightarrow{A} A_1 )$ Попарные произведения базисных векторов равны нулю, поэтому выражение принимает вид: $\overrightarrow{M} D_1 \cdot \overrightarrow{A} C_1= - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} B^{2} + \frac{1}{2} \overrightarrow{A} D^{2} + \frac{1}{2} \overrightarrow{A} A_1^{2} = \frac{1}{2} ( - 25 + 16 + 9 ) =0$ б) Достаточно найти точку T на ребре A₁B₁ такую, что $\overrightarrow{M} T \cdot \overrightarrow{A} C_1=0$ Получаем: $( \overrightarrow{M} A_1 + t \overrightarrow{A}_1 B_1 ) \cdot \overrightarrow{A} C_1=0,$ $( ( t - \frac{1}{2} ) \overrightarrow{A} B - \frac{1}{2} \overrightarrow{A} D + \frac{1}{2} \overrightarrow{A} A_1 ) \cdot ( \overrightarrow{A} B + \overrightarrow{A} D + \overrightarrow{A} A_1 ) =0,$ откуда $( t - \frac{1}{2} ) \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 9 + \frac{1}{2} \cdot 16=0 \Leftrightarrow 25 t - 9=0 \Leftrightarrow t= \frac{9}{25}$ Значит, точка T делит ребро A₁B₁ в отношении 9 : 16, считая от точки A₁. [рисунок] Приведем решение методом координат (Ирина Шраго).а) Введем систему координат с центром в точке B, направив ось Ox вдоль ребра BA, ось Oy вдоль ребра BC и ось Oz вдоль ребра BB₁. В этой системе координат: A(5; 0; 0); C₁(0; 3; 4); D₁(5; 3; 4); M(2,5; 1,5; 2), $\overrightarrow{A} C_1 = ( - 5; 3; 4 )$ Запишем уравнение плоскости α, проходящей через точку M перпендикулярно прямой AC₁: $минус 5 ( x - 2,5 ) + 3 ( y - 1,5 ) + 4 ( z - 2 ) =0 \Leftrightarrow - 5x + 3y + 4z=0$ Координаты точки D₁ удовлетворяют уравнению плоскости α: $минус 5 \cdot 5 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4=0,$ следовательно, точка D₁ принадлежит плоскости.б) Пусть плоскость α пересекает ребро A₁B₁ в точке T(t; 0; 4). Тогда $минус 5 \cdot t + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 4=0,$ откуда $t= \frac{16}{5}$ Следовательно, $минус \frac{B_1T}{TA_1} = \frac{\frac{16}{5}}{5 - \frac{16}{5}} = \frac{16}{9}$ Следовательно, плоскость α делит ребро A₁B₁ в отношении 16 : 9, считая от вершины B₁, или в отношении 9 : 16, считая от вершины A₁. [рисунок] Примечание.

   Сечения параллелепипеда плоскостью, перпендикулярной его диагонали, может быть треугольником, четырех-, пяти- или шестиугольником, поэтому построить сечение можно только решив пункт а). Далее заметим, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии, поэтому наряду с точкой D₁ сечение содержит и центрально симметричную ей точку B. Осталось провести отрезки TB и TD₁, а в противоположных гранях — параллельные им отрезки, проходящие через точки D₁ и B соответственно (см. рис.)Читателю будет полезно сравнить решение этой задачи с задачами 561194 и