На боковом ребре SE отмечена точка K такая, что $SK : KE = 2 : 3$ а)

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Пусть прямая AC пересекает прямую BE в точке R, прямая FD пересекает прямую BE в точке T, плоскость ACK пересекает прямую SF в точке P, а прямую SD в точке Q, и пусть прямая RK пересекает прямую PQ в точке N (см. рис. 1). [рисунок] Рис. 1 [рисунок] Рис. 2Запишем теорему Менелая для треугольника TSE (см. рис. 2): $\frac{EK}{KS} \cdot \frac{SN}{NT} \cdot \frac{TR}{RE} = 1$ Из треугольника ETD и правильного шестиугольника ABCDEF получаем, что $TE = \frac{1}{2} \cdot DE = \frac{1}{4} \cdot BE,$ а тогда $\frac{TR}{RE} = \frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2} \cdot \frac{SN}{NT} \cdot \frac{2}{3} = 1 \Leftrightarrow \frac{SN}{NT} = 1 \Leftrightarrow SN = NT$ Следовательно, точка N — середина отрезка ST. Заметим, что прямая PQ параллельна прямой AC, поскольку прямая AC параллельна плоскости SDF. Тогда $\frac{SP}{PF} = \frac{SN}{NT} = \frac{SQ}{QD}$ Итак, плоскость ACK пересекает ребра SB и SD в их серединах. б) Заметим, что $S_ABC = S_FED = \frac{1}{6} S_ABCDEF$ Кроме того, $S_ACF = S_DCF = \frac{1}{3} S_ABCDEF$ Разобьем многогранник SABCQKP на пирамиды SABC, SAPC, SPQC, SPQK. Тогда имеем: $V_SABC = \frac{1}{6} V_SABCDEF,$ $V_SAPC = \frac{SP}{SF} \cdot V_SACF = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} V_SABCDEF = \frac{1}{6} V_SABCDEF,$ $V_SPQC = \frac{SP}{SF} \cdot \frac{SQ}{SD} \cdot V_SFDC = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} V_SABCDEF = \frac{1}{12} V_SABCDEF,$ $V_SPQK = \frac{SP}{SF} \cdot \frac{SK}{SE} \cdot \frac{SQ}{SD} \cdot V_SFED = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot V_SFED = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{6} \cdot V_SABCDEF = \frac{1}{60} V_SABCDEF$ $V_SPQK = \frac{SP}{SF} \cdot \frac{SK}{SE} \cdot \frac{SQ}{SD} \cdot V_SFED = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot V_SFED =$ $= \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{6} \cdot V_SABCDEF = \frac{1}{60} V_SABCDEF$ $V_SPQK = \frac{SP}{SF} \cdot \frac{SK}{SE} \cdot \frac{SQ}{SD} \cdot V_SFED =$ $= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot V_SFED =$ $= \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{6} \cdot V_SABCDEF = \frac{1}{60} V_SABCDEF$ Складывая, получим: $V_SABCQKP = V_SABCDEF \cdot ( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{60} ) = \frac{13}{30} V_SABCDEF$ Таким образом, плоскость ACK делит объем пирамиды в отношении 13 :