Присоединиться

Математика·Стереометрическая задача·11 класс

Критерии оценивания выполнения задания

Условие

Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость α, перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как 1 : 3.а) Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 45°.б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если боковое ребро пирамиды равно 4. Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 | Получен обоснованный ответ в пункте б)ИЛИимеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 | Имеется верное доказательство утверждения пункта а),ИЛИпри обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,ИЛИобоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 | Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 | Максимальный балл | 3 |

Рисунок к задаче

Ответ

б) @@M13@@

Решение по шагам

  1. Как рассуждать

    Решение. [рисунок] а) Пусть плоскость α проходит через точку L — cередину ребра SA — и пересекает ребра SB и SC в точках M и N соответственно. Заметим, что SLM и SLN — равные прямоугольные треугольники, следовательно, LM = LN и SM = SN. По теореме об отношении объемов тетраэдров с общим трехгранным углом находим: VSLMNVSABC=SL⋅SM⋅SNSA⋅SB⋅SC=14,\frac{V_SLMN}{V_SABC} = \frac{SL \cdot SM \cdot SN}{SA \cdot SB \cdot SC} = \frac{1}{4} , откуда (SMSB)2=12,( \frac{SM}{SB} )^{2} = \frac{1}{2} , следовательно, SM=12,SM = \frac{1}{\sqrt{2}} , SB=12SASB= \frac{1}{\sqrt{2}} SA По теореме Пифагора из треугольника SLM получаем: LM=SM2−SL2=12SA2−14SA2=12SA=SLLM = \sqrt{SM^{2} - SL^{2}} = \sqrt{\frac{1}{2} SA^{2} - \frac{1}{4} SA^{2}} = \frac{1}{2} SA = SL Таким образом, треугольник SLM — прямоугольный и равнобедренный, а потому угол LSM равен 45°. б) Из п. а) следует, что LM = LN = SL =

Осталось ещё 1 шаг — откроются после входа:

  • Шаг 2
Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Другие задачи по теме «Стереометрическая задача»

Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁, двугранный угол призмы при11 классAB основания равна 2 корень из 3 , а высота SH пирамиды равна 3. Точки11 классКритерии оценивания выполнения задания11 классГрань ACC₁A₁ является квадратом.а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁11 классРасстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ прямой треугольной призмы11 класс
Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же