3.а) Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 45°.б)

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Пусть плоскость α проходит через точку L — cередину ребра SA — и пересекает ребра SB и SC в точках M и N соответственно. Заметим, что SLM и SLN — равные прямоугольные треугольники, следовательно, LM = LN и SM = SN. По теореме об отношении объемов тетраэдров с общим трехгранным углом находим: $\frac{V_SLMN}{V_SABC} = \frac{SL \cdot SM \cdot SN}{SA \cdot SB \cdot SC} = \frac{1}{4} ,$ откуда $( \frac{SM}{SB} )^{2} = \frac{1}{2} ,$ следовательно, $SM = \frac{1}{\sqrt{2}} ,$ $SB= \frac{1}{\sqrt{2}} SA$ По теореме Пифагора из треугольника SLM получаем: $LM = \sqrt{SM^{2} - SL^{2}} = \sqrt{\frac{1}{2} SA^{2} - \frac{1}{4} SA^{2}} = \frac{1}{2} SA = SL$ Таким образом, треугольник SLM — прямоугольный и равнобедренный, а потому угол LSM равен 45°. б) Из п. а) следует, что LM = LN = SL =