11 класс·высокий уровень

К 3.а) Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 45°.б)

Условие

Через середину бокового ребра правильной треугольной пирамиды проведена плоскость α, перпендикулярная этому ребру. Известно, что она пересекает остальные боковые рёбра и разбивает пирамиду на два многогранника, объёмы которых относятся как 1 к 3.а) Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен 45°.б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α, если боковое ребро пирамиды равно 2.

Рисунок к задаче

Ответ

Ответ и полный разбор откроются после входа

Посмотреть ответ

Решение по шагам

Как рассуждать
Решение. [рисунок] а) Пусть P — вершина, ABC — основание пирамиды, M — середина ребра PA = 2a. Пусть секущая плоскость пересекает рёбра BP и CP в точках E и F соответственно. Прямоугольные треугольники MPE и MPF равны по катету и острому углу; обозначим их равные гипотенузы PE = PF = x. Объём тетраэдра PMEF составляет $\frac{PM}{PA} \cdot \frac{PE}{PB} \cdot \frac{PF}{PC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2a} \cdot \frac{x}{2a} = \frac{x^{2}}{8a^{2}}$ объёма пирамиды, что по условию равно $\frac{1}{4}$ объёма пирамиды. Отсюда $x=a корень из 2 ,$ и косинус плоского угла MPE при вершине равен $\frac{MP}{PE} = \frac{a}{a корень из 2} = \frac{1}{корень из 2} ,$ поэтому $\angleMPE=45^{\circ}$ б) Поскольку все плоские углы при вершине пирамиды равны 45°, получаем, что ME = MF =

Осталось ещё 1 шаг

Из треугольника PEF по теореме косинусов EF=…

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Другие задачи по теме «Стереометрическая задача»

Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁, двугранный угол призмы при11 классAB основания равна 2 корень из 3 , а высота SH пирамиды равна 3. Точки11 классРёбра равны 1.а) Докажите, что расстояние между прямыми AA₁ и BC₁ равно11 классГрань ACC₁A₁ является квадратом.а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁11 классРасстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ прямой треугольной призмы11 класс

Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же