11 класс·высокий уровень

Основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и

Условие

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины ребер АВ и ВС и вершину S. а) Докажите, что указанное сечение делит объем пирамиды в отношении 1:7 б) Найдите площадь этого сечения, если все ребра пирамиды равны 8.

Рисунок к задаче

Ответ

Ответ и полный разбор откроются после входа

Посмотреть ответ

Решение по шагам

Как рассуждать
Решение. [рисунок] а) Пусть M — середина AB, а N — середина BC. Плоскость SMN делит пирамиду на пирамиды SBNM и SMADCN. У этих пирамид общая высота, проведенная из вершины S, поэтому их объемы относятся как площади многоугольников BNM и MADCN. Площадь треугольника BNM равна половине от четверти квадрата ABCD, то есть $S_BNM=1/8 \cdot S_ABCD,$ поэтому $V_SBNM:V_SMADCN=S_BNM:S_MADCN=1/8: ( 1 - 1/8 ) =1:7$ б) Площадь сечения равна площади треугольника SMN. Найдем последовательно SM, MN и SN.SM и SN — медианы треугольников SAB и SBC соответственно. Эти треугольники равносторонние (поскольку все ребра пирамиды одинаковой длины), поэтому $SM=SN= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8 = 4 \sqrt{3}$ Найдем теперь MN из прямоугольного треугольника MBN. В нем катеты равны

Осталось ещё 1 шаг

Гипотенуза MN по теореме Пифагора будет равна…

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Другие задачи по теме «Стереометрическая задача»

Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁, двугранный угол призмы при11 классAB основания равна 2 корень из 3 , а высота SH пирамиды равна 3. Точки11 классРёбра равны 1.а) Докажите, что расстояние между прямыми AA₁ и BC₁ равно11 классГрань ACC₁A₁ является квадратом.а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁11 классРасстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ прямой треугольной призмы11 класс

Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же