Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ со стороной основания 12 и

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Отметим точки $L_1$ и $K_1$ на ребрах $B_1C_1$ и AB соответственно так, чтобы $LL_1\parallel A_1C_1,$ $KK_1\parallel AC$ Тогда плоскость гамма — это плоскость $LL_1KK_1$ Очевидно, $BM\perp KK_1,$ поскольку проекция BM на плоскость ABC — высота треугольника ABC Она перпендикулярна AC, а значит, и $KK_1$ По теореме о трех перпендикулярах $BM\perp KK_1$ Рассмотрим теперь проекцию $M_1$ точки M на плоскость $AA_1B_1B$ Проекция $C_1$ на эту плоскость — середина ребра $A_1B_1,$ поэтому $A_1M_1= \frac{1}{4} A_1B_1=3$ Докажем теперь, что прямая $BM_1$ перпендикулярна $K_1L$ Тогда по теореме о трех перпендикулярах окажется, что $BM\perp K_1L,$ тогда и $BM\perp гамма$ Обозначим за O точку пересечения отрезков $BM_1$ и $K_1L,$ за $M_2$ и $L_2$ — проекции точек $M_1$ и L на прямую AB Тогда $\operatorname{tg} \angle OBK_1= \operatorname{tg} \angle M_1BM_2= \frac{M_1M_2}{M_2B} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} ,$ $\operatorname{tg} \angle OK_1B= \operatorname{tg} \angle LK_1L_2= \frac{LL_2}{L_2K_1} = \frac{3}{6 - 5} =3$ Итак, тангенсы этих углов обратны друг другу, поэтому углы в сумме дают 90° и угол $K_1OB$ = 180° − 90° = 90°, что и требовалось доказать.б) Очевидно $LL_1=5,$ поскольку $B_1LL_1$ — равносторонний треугольник. V_BLL_1KK_1=V_L_1BKK_1 + V_LK_1BL_1= \frac{1}{3} d ( L_1,K_1BK ) \cdot S_K_1BK + \frac{1}{6} K_1B \cdot LL_1 \cdot d ( K_1B,LL_1 ) \cdot \sin \angle ( K_1B,LL_1 ) = V_BLL_1KK_1=V_L_1BKK_1 + V_LK_1BL_1= = \frac{1}{3} d ( L_1,K_1BK ) \cdot S_K_1BK + \frac{1}{6} K_1B \cdot LL_1 \cdot d ( K_1B,LL_1 ) \cdot \sin \angle ( K_1B,LL_1 ) = $= \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot 5 \cdot d ( ABC,A_1B_1C_1 ) \cdot \sin \angle ( LB_1,LL_1 ) =9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{33 \sqrt{3}}{2}$ $= \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} + \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot 5 \cdot d ( ABC,A_1B_1C_1 ) \cdot \sin \angle ( LB_1,LL_1 ) =$ $=9 \sqrt{3} + 5 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{33 \sqrt{3}}{2}$