Дана четырехугольная пирамида SABCD, в основании которой лежит ромб

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Пусть точка O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Из условия $BO^{2} = AB^{2} - AO^{2} =10^{2} - 5^{2} = 75,$ откуда $BD = 2 \sqrt{75} = 10 \sqrt{3}$ Из равнобедренного треугольника ASC получаем: $SO^{2} = SA^{2} - AO^{2} =200 - 25 = 175,$ откуда $SO = 5 \sqrt{7}$ По теореме косинусов для треугольника SOB находим: $\cos \angle SOB = \frac{SO^{2} + BO^{2} - SB^{2}}{2 \cdot SO \cdot BO} = \frac{175 + 75 - 400}{2 \cdot 5 \sqrt{7} \cdot 5 \sqrt{3}} = - \frac{3}{\sqrt{21}} ,$ откуда $\cos \angle SOD = \frac{3}{\sqrt{21}}$ Следовательно, по теореме косинусов для треугольника SOD $SD^{2} = SO^{2} + OD^{2} - 2 \cdot SO \cdot OD \cdot \cos \angle SOD =$ $=175 + 75 - 2 \cdot 5 \sqrt{7} \cdot 5 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{21}} = 250 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 = 100,$ $SD^{2} = SO^{2} + OD^{2} - 2 \cdot SO \cdot OD \cdot \cos \angle SOD =$ $=175 + 75 - 2 \cdot 5 \sqrt{7} \cdot 5 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{21}} =$ $= 250 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 3 = 100,$ откуда SD =