Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка K — середина ребра C₁D₁.а) Докажите, что

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Пусть AB = a, тогда $A_1B = a корень из 2 ,$ $A_1K = \sqrt{a^{2} + ( \frac{a}{2} )^{2}} = \frac{a корень из 5}{2}$ и $BK = \sqrt{( a \sqrt{2} )^{2} + ( \frac{a}{2} )^{2}} = \frac{3a}{2}$ В треугольнике A₁BK по теореме косинусов \cos \angle A_1BK = \frac{A_1B^{2} + BK^{2} - A_1K^{2}}{2 \cdot A_1B \cdot BK} = \frac{2a^{2} + \dfrac9}{4} a^{2} - \dfrac54 a^{2} 2 \cdot \dfrac32 a \cdot a корень из 2 = \frac{1}{\sqrt{2}} Опустим перпендикуляр A₁H из вершины A₁ на прямую BK.