Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.а) Докажите, что плоскость $B_1CD_1$

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Спроецируем прямую $AC_1$ на плоскости $BCC_1$ и $DCC_1$ Получатся прямые $BC_1$ и $DC_1$ Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, $AC_1\perp B_1C$ и $AC_1\perp D_1C$ Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $AC_1\perp B_1CD_1$ Что и требовалось доказать.б) Пусть точка M — середина отрезка $AD_1$ Примем длины ребер куба за a Из прямоугольного треугольника $ABB_1$ по теореме Пифагора найдём $AB_1:$ $AB_1= \sqrt{AB^{2} + BB_1^{2}} =a \sqrt{2}$ Аналогично, $B_1D_1=CD_1=AD_1=AC=B_1C=a \sqrt{2}$ Опустим перпендикуляры $B_1H$ и CK на сторону $AD_1$ треугольники $AB_1D_1$ и $ACD_1$ равносторонние, поэтому перпендикуляры $B_1H$ и CK также являются биссектрисами и медианами, поэтому точки H, K и M совпадают.