DABC отмечены точки M и N так, что $A M : M B = C N : N B = 2 : 1$

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) По условию $AM : MB = CN : NB,$ поэтому отрезок MN параллелен стороне AC. Отрезок PQ — средняя линия треугольника ADC, значит, отрезок PQ параллелен стороне AC. Следовательно, отрезки MN и PQ параллельны. Тогда точки M, N, P и Q лежат в одной плоскости. б) Пусть h — высота пирамиды ABCD, проведенная к грани ACD, S — площадь грани ACD. Тогда $V_MAPC = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} h \cdot \frac{1}{2} S = \frac{1}{3} V_ABCD,$ $V_NPCQ = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} h \cdot S_CPQ = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} h \cdot \frac{1}{2} S_CPD = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} h \cdot \frac{1}{4} S = \frac{1}{6} V_ABCD$ Далее, $S_MNP : S_PNQ = MN : PQ = \frac{1}{3} AC : \frac{1}{2} AC = \frac{2}{3} ,$ $V_CMPN : V_NPCQ = S_MNP : S_PNQ = \frac{2}{3} ,$ $V_CPMN = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{6} V_ABCD = \frac{1}{9} \cdot V_ABCD$ Таким образом, $V_AMNCPQ = ( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} ) V_ABCD = \frac{11}{18} V_ABCD$ Следовательно, плоскость MPN делит объем ABCD в отношении 11 :