11 класс·высокий уровень

B основании параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб с диагоналями

Условие

B основании параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб с диагоналями $AC=2,$ $BD = \sqrt{2} ,$ пересекающимися в точке О. Ребро AA₁ наклонено к плоскости основания под углом 45°, а вершина A₁ ортогонально проецируется в точку O. Через точку A₁ перпендикулярно боковым ребрам проходит плоскость альфа а) Докажите, что сечение призмы плоскостью альфа — квадрат.б) Найдите отношение, в котором плоскость альфа делит объем призмы.

Рисунок к задаче

Ответ

Ответ и полный разбор откроются после входа

Посмотреть ответ

Решение по шагам

Как рассуждать
Решение. а) Заметим, что AO = 1, поэтому в прямоугольном и равнобедренном треугольнике AOA₁ имеем: A₁O = 1, и по теореме Пифагора $AA_1= \sqrt{2}$ Пусть плоскость альфа пересекает ребро BB₁ в точке K, ребро DD₁ в точке M и ребро CC₁ в точке L соответственно. По теореме Пифагора из треугольников DOA₁ и BOA₁ получаем $A_1D=A_1B= \sqrt{A_1O^{2} + BO^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Тогда A₁M — высота в равнобедренном треугольнике A₁D₁D, откуда $DM=MD_1= \frac{\sqrt{2}}{2} ,$ $A_1M=A_1K=1$ Заметим, что ML — высота параллелограмма DD₁C₁C, значит, ML = A₁M =

Осталось ещё 1 шаг

Кроме того, KM=BD= √2 , откуда KA_1M=90^°, то…

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Другие задачи по теме «Стереометрическая задача»

Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁, двугранный угол призмы при11 классAB основания равна 2 корень из 3 , а высота SH пирамиды равна 3. Точки11 классРёбра равны 1.а) Докажите, что расстояние между прямыми AA₁ и BC₁ равно11 классГрань ACC₁A₁ является квадратом.а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁11 классРасстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ прямой треугольной призмы11 класс

Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же