AM = 5MA₁, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость α

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Заметим, что отрезок KC₁ является медианой правильного треугольника A₁B₁C₁, а потому является и высотой этого треугольника. Призма ABCA₁B₁C₁ — прямая, поэтому ее боковые ребра являются высотами призмы. Следовательно, отрезок KC₁ перпендикулярен ребру AA₁. Таким образом, плоскость MKC₁ перпендикулярна плоскости ABB₁A₁.б) В прямоугольном треугольнике MA₁K по теореме Пифагора получаем: $MK = \sqrt{MA_1^{2} + A_1K^{2}} = \sqrt{4 + 36} = 2 \sqrt{10}$ Высота KC₁ в правильном треугольнике A₁B₁C₁ равна $6 \sqrt{3}$ Поскольку плоскость MKC₁ перпендикулярна плоскости ABB₁A₁, прямая KC₁ перпендикулярна прямой MK, а значит, треугольник MKC₁ прямоугольный. Площадь искомого сечения равна $S_MKC_1 = \frac{1}{2} KC_1 \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 6 \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{10} = 6 \sqrt{30}$