ABCD со стороной 6. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость α пересекает плоскость BMC по отрезку KL. Плоскость α параллельна ребру MC, поэтому KL || MC, следовательно, KL — средняя линия треугольника BMC, а L — середина ВС. Плоскость α проходит через QK — среднюю линию треугольника MAB — и, следовательно, параллельна AB. Таким образом, пересекает плоскость основания по прямой, параллельной AB — средней линии треугольника АВС, — и проходит через точку O — середину отрезка AC. Значит, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны QK и LO параллельны отрезку AB и равны его половине. Значит, QKLO — параллелограмм.б) Отметим точку F — середину отрезка QK — и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренныйтреугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому $OF= \frac{1}{2} MG$ По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому $AM= \frac{1}{\sqrt{2}} AC= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} \cdot 6=6,$ и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда $MG=3 \sqrt{3}$ и $OF= \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ Площадь параллелограмма $S_QKLO=OL \cdot OF=3 \cdot \frac{3 \sqrt{3}}{2} = \frac{9 \sqrt{3}}{2}$