Докажите, что угол MNB прямой.б) Найдите угол между прямыми AM и SB

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Поскольку медиана AM треугольника ACS пересекает высоту конуса, плоскость ACS содержит высоту конуса. Значит, AC — диаметр основания конуса и SN — его высота.

   Медиана BN треугольника ABC перпендикулярна прямой AC. Также отрезок BN перпендикулярен высоте конуса SN как радиус основания. Следовательно, прямая BN перпендикулярна плоскости ACS, а значит, угол MNB прямой. [рисунок] б) Пусть K — середина отрезка BC, AS = 2, $AC= \sqrt{6}$ Тогда искомый угол будет равен углу AMK, поскольку средняя линия MK треугольника BCS параллельна прямой SB; $MK= \frac{SB}{2} =1$ Найдем медиану AM треугольника ACS: $AM = \frac{\sqrt{2AS^{2} + 2AC^{2} - SC^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{AS^{2} + 2AC^{2}}}{2} =2$ В прямоугольном треугольнике ABC имеем: $AB= \sqrt{3} , BK= \frac{корень из 3}{2} , AK= \sqrt{AB^{2} + BK^{2}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ Применим теперь теорему косинусов к треугольнику AMK, получаем: $\cos \angle AMK= \frac{AM^{2} + MK^{2} - AK^{2}}{2AM \cdot MK} = \frac{5}{16} ,$ откуда $\angle AMK= \arccos \frac{5}{16}$