Основания систем счисления, в которых запись числа 75 оканчивается на

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Так как число 75 в системе счисления с основанием N кончается на 13, то число 75 в десятичной системе счисления при делении на N должно давать остаток 3 (т. е. $75=Ny + 3,$ y - любое целое неотрицательное число, N - основание искомой системы счисления) и частное от этого деления y должно давать остаток 1 при делении на N (т. е. $y=Nz + 1,$ z - любое целое неотрицательное число). Следовательно, $75=N^{2} z + 3 + N,$ $\Rightarrow 72=N^{2} z + N,$ где $N \geqslant 4$ Иначе говоря, 72 - N должно быть кратным $N^{2}$ Отбросим сразу те N, которые при вычитании из 72 дают простые числа, а также те, квадраты которых больше 72: 1, 5, 9, 10, и так далее до бесконечности. Но при этом 72 тоже является решением данной задачи, так как 72 - особый случай, ведь $72 - N=0$ Итого остается еще 2, 3, 4, 6, 7 и