Основания систем счисления, в которых запись числа 61 оканчивается на

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Так как число 61 в системе счисления с основанием N кончается на 15, то число 61 в десятичной системе счисления при делении на N должно давать остаток 5 (т. е. $61=Ny + 5,$ y - любое целое неотрицательное число, N - основание искомой системы счисления) и частное от этого деления y должно давать остаток 1 при делении на N (т. е. $y=Nz + 1,$ z - любое целое неотрицательное число). Следовательно, $61=N^{2} z + 5 + N,$ $\Rightarrow 56=N^{2} z + N,$ где $N \geqslant 6$ Иначе говоря, 56 - N должно быть кратным $N^{2}$ Отбросим сразу те N, которые при вычитании из 56 дают простые числа, а также те, квадраты которых больше 56, т. е. от 8 до бесконечности. Но при этом 56 тоже является решением данной задачи, так как 56 - особый случай, ведь $56 - N=0$ Итого остается еще 6 и