Основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. Так как число в системе счисления с основанием N кончается на 11, то число 31 в десятичной системе счисления при делении на N должно давать остаток 1 (т. е. $31=Ny + 1,$ y — любое целое неотрицательное число, N — основание искомой системы счисления) и частное от этого деления y также должно давать остаток 1 при делении на N (т. е. $y=Nz + 1,$ z — любое целое неотрицательное число). Следовательно, $31=N^{2} z + 1 + N,$ $\Rightarrow 30=N^{2} z + N,$ где z — неотрицательное целое число, а $N \geqslant 2$ Иначе говоря, 30 - N должно быть кратным $N^{2}$ Отбросим сразу те N, которые при вычитании из 30 дают простые числа,а также те, квадраты которых больше 30: 1, 6, 7, 8, 9, 10, и так далее до бесконечности. Но при этом 30 тоже является решением данной задачи, так как 30 - особый случай, ведь $30 - N=0$ Итого остается еще 2, 3, 4 и