Математика
Стереометрическая задача: страница 21
Тема «Стереометрическая задача» на экзамене: типовые задачи и ход рассуждения.
Шар проходит через вершины одной грани куба и касается сторонШар проходит через вершины одной грани куба и касается сторон противоположной грани куба. а) Докажите, что сфера касается ребер в их серединах.б) Найдите объем шара, если ребро куба равно…11 классКонус и полусфера имеют общее основание, радиус которого относится кКонус и полусфера имеют общее основание, радиус которого относится к высоте конуса как 1 : 3.а) Докажите, что поверхность полусферы делит образующую конуса в отношении 4 : 1, считая от…11 классРадиус основания конуса с вершиной S равен 8, а высота конуса SO равнаРадиус основания конуса с вершиной S равен 8, а высота конуса SO равна $\sqrt{88}$ Точка M — середина образующей SA конуса, а точки B и N лежат в плоскости основания конуса так, что отрезок…11 классДиаметр основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21.Диаметр основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость α пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Пусть М и N — середины этих хорд, P — точка пересечения…11 классНа отрезке O₁O₂, соединяющем центры оснований кругового цилиндраНа отрезке O₁O₂, соединяющем центры оснований кругового цилиндра, отмечены точки Р и F так, что $O_1 P : P F : F O_2 = 1 : 4 : 7$ В цилиндре расположены два конуса: первый с вершиной F,…11 классПерпендикулярные и равные ребра АD и ВС тетраэдра АВСD являютсяПерпендикулярные и равные ребра АD и ВС тетраэдра АВСD являются диаметрами двух оснований цилиндра, длина образующей которого равна длине ребра ВС.а) Докажите, что осевое сечение цилиндра,…11 классЧерез вершину S конуса проведена плоскость, которая пересекаетЧерез вершину S конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках A и B. Высота конуса SO равна $4 \sqrt{3} ,$ дуга AB равна 90°, а хорда AB равна 8.а) Докажите, что угол…11 классK и М по одну сторону от диаметра основания АВ так, что плоскости ASK иНа окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки K и М по одну сторону от диаметра основания АВ так, что плоскости ASK и BSM наклонены к плоскости основания конуса под углами…11 классДан цилиндр, осевым сечением которого является прямоугольник, сДан цилиндр, осевым сечением которого является прямоугольник, с центрами нижнего и верхнего оснований в точках O и O₁ соответственно. Плоскость α проходит через диаметр AB нижнего основания…11 классЧерез вершину S прямого конуса проведена плоскость, которая пересекаетЧерез вершину S прямого конуса проведена плоскость, которая пересекает основание в точках A и B. Высота конуса SO равна $6 \sqrt{3} ,$ дуга AB равна 90°, а хорда AB равна 12.а) Докажите,…11 классS. Точка M — середина хорды BC, AC — диаметр. а) Докажите, что уголТочки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S. Точка M — середина хорды BC, AC — диаметр. а) Докажите, что угол между прямой SM и плоскостью ABC равен углу между прямой…11 классВ цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки M и N, а наВ цилиндре на окружности нижнего основания отмечены точки M и N, а на окружности верхнего основания отмечены точки M₁ и K₁ так, что прямая MM₁ является образующей, перпендикулярной…11 классS. Точка M — середина хорды BC, AC — диаметр. а) Докажите, что уголТочки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S. Точка M — середина хорды BC, AC — диаметр. а) Докажите, что угол между прямой SM и плоскостью ABC равен углу между прямой…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) а) Докажите, что площадь боковой поверхности…11 классВ правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) а) Докажите, что двугранный угол при основании…11 классВ конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5. а)В конус, радиус основания которого равен 3, вписан шар радиуса 1,5. а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади…11 класс10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех гранейВ правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) а) Докажите, что существует сечение пирамиды,…11 классПлоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, аПлоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно $\sqrt{5} ,$ а высота равна 1, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) а) Докажите, что двугранный угол при…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 5, а высота равна 3, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) а) Докажите, что площадь боковой поверхности…11 классВ правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 17В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 17, а высота равна 7, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) а) Докажите, что двугранный угол при основании…11 классВ конус, радиус основания которого равен 6, вписан шар радиуса 3. а)В конус, радиус основания которого равен 6, вписан шар радиуса 3. а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади…11 классПлоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, аПлоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 6. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения…11 классПостроено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярноВ одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный…11 классДлина диагонали куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3. На луче A₁C отмечена точка PДлина диагонали куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 3. На луче A₁C отмечена точка P так, что A₁P = 4.а) Докажите, что PBDC₁ — правильный тетраэдр.б) Найдите длину отрезка AP. Критерии оценивания…11 классВокруг куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 3 описана сфера. На ребре CC₁ взятаВокруг куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 3 описана сфера. На ребре CC₁ взята точка M так, что плоскость, проходящая через точки A, B и M, образует угол 15° с плоскостью ABC. a) Постройте линию…11 классОснованием пирамиды является равнобедренная трапеция. Все боковые ребраОснованием пирамиды является равнобедренная трапеция. Все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом 60°. а) Докажите, что существует точка (центр описанной сферы), одинаково…11 классПостроено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярноВ одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 3 и радиусом основания 8 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный…11 классПостроено сечение ABNM, проходящее через прямую AB перпендикулярноВ одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 9 и радиусом основания 2 проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный…11 классДан прямой круговой цилиндр высотой 9 и радиусом 2. В одном изДан прямой круговой цилиндр высотой 9 и радиусом 2. В одном из оснований проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр CD, перпендикулярный прямой AB.…11 классДан прямой круговой цилиндр высотой 3 и радиусом 8. В одном изДан прямой круговой цилиндр высотой 3 и радиусом 8. В одном из оснований проведена хорда AB, равная радиусу основания, а в другом основании проведён диаметр CD, перпендикулярный прямой AB.…11 классДве правильные четырехугольные пирамиды EABCD и FABCD имеют общееДве правильные четырехугольные пирамиды EABCD и FABCD имеют общее основание ABCD и расположены по разные стороны от него. Точки M и N — середины рёбер AB и BC соответственно. Все ребра…11 классВнутри цилиндра расположен куб ABCDA₁B₁C₁D₁ так, что все его вершиныВнутри цилиндра расположен куб ABCDA₁B₁C₁D₁ так, что все его вершины лежат на поверхности цилиндра, причём вершины B и D₁ совпадают с центрами оснований, а остальные вершины лежат на…11 классКонус и полусфера имеют общее основание, радиус которого относится кКонус и полусфера имеют общее основание, радиус которого относится к высоте конуса как 4 : 7.а) Докажите, что поверхность полусферы делит образующую конуса в отношении 33 : 32, считая от…11 классКвадрат АВСD и прямой цилиндр расположены таким образом, что АВКвадрат АВСD и прямой цилиндр расположены таким образом, что АВ — диаметр верхнего основания цилиндра, а CD лежит в плоскости нижнего основания цилиндра и касается его окружности.а)…11 классВ правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и сторонойВ правильную треугольную пирамиду с боковым ребром 4 и стороной основания $2 \sqrt{3}$ вписан шар. Плоскость α перпендикулярна высоте пирамиды и проходит через её середину.а) Докажите, что…11 классВ пирамиде FABC грани ABF и ABC перпендикулярны, $F B : F A = 27 : 8$В пирамиде FABC грани ABF и ABC перпендикулярны, $F B : F A = 27 : 8$ Тангенс угла между прямой BC и плоскостью ABF равен 2, а точка M выбрана на ребре BC так, что $BM : MC = 1: 2$ Точка T…11 классВ правильной треугольной пирамиде DABC углы боковых граней при вершинеВ правильной треугольной пирамиде DABC углы боковых граней при вершине пирамиды D — прямые. Внутри пирамиды находится куб, диагональ которого совпадает с высотой пирамиды.а) Докажите, что…11 классВ правильную четырехугольную пирамиду PABCD вписан куб, одна граньВ правильную четырехугольную пирамиду PABCD вписан куб, одна грань которого лежит в плоскости основания АВСD пирамиды, а все вершины противоположной грани лежат на апофемах боковых граней…11 классОснованием пирамиды является треугольник, один из углов которого 135°Основанием пирамиды является треугольник, один из углов которого 135°, а противолежащая ему сторона $8 \sqrt{6}$ Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол 60°.…11 класс
