Математика
Стереометрическая задача: решения задач
Тема «Стереометрическая задача» на экзамене: типовые задачи и ход рассуждения.
Дана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁, двугранный угол призмы приДана прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁, двугранный угол призмы при ребре AA₁ равен 60°.а) Докажите, что угол BA₁C₁ больше угла BAC.б) Расстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ равно 5,…11 классAB основания равна 2 корень из 3 , а высота SH пирамиды равна 3. ТочкиВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 2 корень из 3 , а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB соответственно, а NT — высота…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 1.а) Докажите, что расстояние между прямыми AA₁ и BC₁ равно расстоянию между прямой $AA_1$ и плоскостью $BCC_1$ б) Найдите это…11 классГрань ACC₁A₁ является квадратом.а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC₁A₁ является квадратом.а) Докажите, что прямые CA₁ и AB₁ перпендикулярны.б)…11 классРасстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ прямой треугольной призмыРасстояние между боковыми ребрами AA₁ и BB₁ прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равно 5, а расстояние между боковыми ребрами AA₁ и CC₁ равно 8. Двугранный угол призмы при ребре AA₁ равен…11 классКорень из 5 , а высота SH пирамиды равна корень из 3 Точки M и NВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD боковое ребро SA равно корень из 5 , а высота SH пирамиды равна корень из 3 Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота…11 классAB = 4, а боковое ребро $SA=2 \sqrt{5}$ Точки M и N — середины ребер CDВ правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро $SA=2 \sqrt{5}$ Точки M и N — середины ребер CD и AB соответственно. Точка N — вершина пирамиды NSCD,…11 классВ правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1,$ все рёбра которой равныВ правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1,$ все рёбра которой равны корень из 3 а) Докажите, что расстояние между прямыми AA₁ и BC₁ равно расстоянию между прямой $AA_1$ и плоскостью…11 классРасстояние между боковыми ребрами $AA_1$ и $BB_1$ прямой треугольнойРасстояние между боковыми ребрами $AA_1$ и $BB_1$ прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равно 3, а расстояние между боковыми ребрами $AA_1$ и $CC_1$ равно 5. Двугранный угол призмы при…11 классВ правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCDВ правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA ― $12 \sqrt{2}$ Через вершину A проведена плоскость α, перпендикулярная прямой PC и…11 классДана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все рёбра основанияДана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все рёбра основания которой равны $2 \sqrt{7}$ Сечение, проходящее через боковое ребро AA₁ и середину M ребра B₁C₁, является квадратом. а)…11 классДана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все ребра основанияДана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, все ребра основания которой равны 2. Сечение, проходящее через боковое ребро AA₁ и середину M ребра B₁C₁, является квадратом. а) Докажите, что…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все ребра равны 6. а) Докажите, что угол между прямыми AC и BC₁ равен 60°.б) Найдите расстояние между прямыми AC и BC₁. Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |…11 классВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра равны 1. На продолжении отрезка A₁C₁ за точкуВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра равны 1. На продолжении отрезка A₁C₁ за точку C₁ отмечена точка M так, что A₁C₁ = C₁M, а на продолжении отрезка B₁C за точку C отмечена точка N так, что B₁C =…11 классОснование пирамиды PABC ― правильный треугольник ABC, сторона которогоОснование пирамиды PABC ― правильный треугольник ABC, сторона которого равна 16, боковое ребро PA ― $8 \sqrt{3}$ Высота пирамиды PH делит высоту AM треугольника ABC пополам. Через вершину A…11 классДана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1,$ все рёбра основанияДана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1,$ все рёбра основания которой равны $2 \sqrt{5}$ Сечение, проходящее через боковое ребро $AA_1$ и середину M ребра $B_1C_1,$ является…11 классДана пирамида SABC, в которой $SC=SB=AB=AC= \sqrt{17} ,$ $SA=BC=2Дана пирамида SABC, в которой $SC=SB=AB=AC= \sqrt{17} ,$ $SA=BC=2 корень из 5$ а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA. Критерии…11 классТочка M — середина ребра AA₁.а) Докажите, что прямые MB и B₁CВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 2. Точка M — середина ребра AA₁.а) Докажите, что прямые MB и B₁C перпендикулярны.б) Найдите расстояние между прямыми MB и B₁C.…11 классAB равна 9, а боковое ребро SA = 6. На рёбрах AB и SC отмечены точки KВ правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA = 6. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 2 : 7.…11 классДан правильный тетраэдр MABC с ребром 1. а) Докажите, что $CM\perp AB$Дан правильный тетраэдр MABC с ребром 1. а) Докажите, что $CM\perp AB$ б) Найдите расстояние между прямыми AL и MO, где L — середина ребра MC, O — центр грани ABC. Критерии оценивания…11 классНа рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC =В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA = 8. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3.…11 классДана пирамида SABC, в которой $SC=SB=AB=AC= \sqrt{19} ,$ $SA=BC=2Дана пирамида SABC, в которой $SC=SB=AB=AC= \sqrt{19} ,$ $SA=BC=2 корень из 6$ а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.б) Найдите расстояние между ребрами BC и SA. Критерии…11 класс$AB=3,$ а боковое ребро $SA=2$ На рёбрах AB и SC отмечены точки K и MВ правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания $AB=3,$ а боковое ребро $SA=2$ На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём $AK:KB=SM:MC=1:2$ Плоскость альфа…11 класс$AB=5,$ а боковое ребро $SA=3$ На рёбрах AB и SC отмечены точки K и MВ правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания $AB=5,$ а боковое ребро $SA=3$ На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём $AK:KB=SM:MC=1:4$ Плоскость альфа…11 классAB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмеченыВ правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём $AK:KB=SM:MC=1:5$ Плоскость α…11 классНа рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причёмВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 8, а боковове ребро SA равно 10. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём $DN:NC=SK:KC = 1:7$…11 классДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2.а) Докажите, что плоскости A₁BD и B₁D₁CДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2.а) Докажите, что плоскости A₁BD и B₁D₁C параллельны.б) Найдите расстояние между плоскостями A₁BD и B₁D₁C. Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 5, AA₁ = 5, AD = 3.а)В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 5, AA₁ = 5, AD = 3.а) Докажите, что прямые A₁B и B₁D перпендикулярны.б) Найдите расстояние между прямыми A₁B и B₁D. Критерии оценивания…11 классВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка O₁ — центр квадрата ABCD, точка O₂ — центрВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка O₁ — центр квадрата ABCD, точка O₂ — центр квадрата CC₁D₁D.а) Докажите, что прямые A₁O₁ и B₁O₂ скрещиваются.б) Найдите расстояние между прямыми A₁O₁ и B₁O₂, если…11 классВ правильном тетраэдре MNPQ через биссектрисы NA и QB граней MNP и QNPВ правильном тетраэдре MNPQ через биссектрисы NA и QB граней MNP и QNP проведены параллельные плоскости.а) Найдите отношение суммы объемов отсекаемых от MNPQ тетраэдров к объему MNPQб)…11 классВ правильном тетраэдре ABCD точка К — середина ребра АВ, точка Е лежитВ правильном тетраэдре ABCD точка К — середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и EC : ED = 1 : 2.а) Найдите угол между прямыми ВС и КЕ.б) Найдите расстояние между прямыми ВС и КЕ, если…11 классВ правильной шестиугольной призме АВСDEFА₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1.В правильной шестиугольной призме АВСDEFА₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. а) Докажите, что точки F и С равноудалены от плоскости ВЕD₁.б) Найдите расстояние между прямыми ЕD₁ и FE₁. Критерии…11 классОснованием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB =Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD со сторонами AB = 15 и BC = 25. Боковые ребра пирамиды равны $5 \sqrt{17}$ На ребрах AD и BC отмечены соответственно точки K и N так,…11 классТочка M — середина ребра B₁C₁, точка N лежит на ребре AC, причем ANВ основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Точка M — середина ребра B₁C₁, точка N лежит на ребре AC, причем AN : NC = 15 : 1. Катет AC в…11 классОснованием пирамиды АВСD является равносторонний треугольник АВС, длинаОснованием пирамиды АВСD является равносторонний треугольник АВС, длина стороны которого равна 4. Боковое ребро CD перпендикулярно плоскости основания и имеет длину $\sqrt{2}$ Пусть М —…11 классОснование прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ — треугольник ABC, вОснование прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ — треугольник ABC, в котором AB = AC = 8, а один из углов равен 60°. На ребре AA₁ отмечена точка P так, что AP : PA₁ = 1 : 2. Расстояние между…11 классУгол между плоскостями ABC и AKC равен 45°.а) Докажите, что расстояниеВ основании прямой призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник ABC со сторонами AB = BC, $AC=4 \sqrt{2}$ На ребре BB₁ выбрана точка K так, что BK : B₁K = 2 : 3. Угол между плоскостями ABC и AKC…11 классABC. На прямой AA₁ отмечена точка D так, что A₁ — середина AD. НаВ основании правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ лежит треугольник ABC. На прямой AA₁ отмечена точка D так, что A₁ — середина AD. На прямой B₁C₁ отмечена точка E так, что C₁ — середина…11 классТочка Q симметрична вершине S правильной четырехугольной пирамиды SABCDТочка Q симметрична вершине S правильной четырехугольной пирамиды SABCD относительно плоскости основания ABC.а) Докажите, что плоскости SBC И QDA параллельны.б) Найдите расстояние между…11 классВ правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребрами AB = BC = 6В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребрами AB = BC = 6, AA₁ = 12 точки M и K — середины AB и BC соответственно, точка N лежит на ребре BB₁, причем BN = 6. Через точку D…11 класс
