Математика
Стереометрическая задача: страница 18
Тема «Стереометрическая задача» на экзамене: типовые задачи и ход рассуждения.
На ребрах AB, CD, AS отмечены точки E, F и К соответственно, причем $AВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AD = 12, а высота равна 3. На ребрах AB, CD, AS отмечены точки E, F и К соответственно, причем $A E =D F = 4$ и AK = 3.а)…11 классВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ боковое ребро равно $8В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ боковое ребро равно $8 \sqrt{3} ,$ а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB₁. а) Докажите, что расстояние между прямыми $A_1D$ и…11 классПравильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостяхПравильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, $AB=10 \sqrt{3}$ Точка P — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 3 : 1. а) Докажите, что…11 классBC = 8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BTПравильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, BC = 8. Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM = 1 : 3. а) Докажите, что $CT > BP$ б)…11 классAB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёберВ правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и…11 классВ пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC соВ пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной 2 корень из 3 , $SA=SC= \sqrt{33} ,$ $SB=7$ Точка O — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.а)…11 классВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ боковое ребро равно $\sqrt{3}В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ боковое ребро равно $\sqrt{3} ,$ а ребро основания равно 4. Точка D — середина ребра BB₁. а) Докажите, что объемы пятигранников A₁B₁C₁CD и…11 классВ правильной треугольной призме $ABCA_1{B_1C_1$ боковое ребро равно $4В правильной треугольной призме $ABCA_1{B_1C_1$ боковое ребро равно $4 \sqrt{3} ,$ а ребро основания равно 4 Точка D — середина ребра $BB_1$ а) Докажите, что расстояние между прямыми $A_1D$…11 классКритерии оценивания выполнения заданияПравильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, $BC=8$ Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что $BT:TM= 1:3$ а) Докажите, что плоскость APT делит…11 классКритерии оценивания выполнения заданияПравильные треугольники ABC и MBC лежат в перпендикулярных плоскостях, $BC=6$ Точка P — середина CM, а точка T делит отрезок BM так, что $BT:TM= 1:3$ а) Докажите, что плоскость APT делит…11 классВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ заданы длины ребер AD =В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ заданы длины ребер AD = 12, AB = 5, AA₁ = 8. а) Докажите, что плоскость $BDA_1$ делит объем параллелепипеда в отношении 1 : 5.б) Найдите объем…11 классВ треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны.В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при рёбрах AD и BC равны. AB = BD = DC = AC = 5.а) Докажите, что AD = BC.б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при AD и BC равны 60°.…11 классНа рёбрах AA₁ и CC₁ отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 6. На рёбрах AA₁ и CC₁ отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.а) Докажите, что плоскость MNB₁ разбивает призму…11 классДана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ со стороной основания 12 иДана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K — середина BC, точка L лежит на стороне A₁B₁ так, что В₁L = 5. Точка М — середина A₁C₁. Через…11 классНа рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и NНа рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.а) Докажите, что P, Q,…11 классНа рёбрах AA₁ и CC₁ отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 3В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 8. На рёбрах AA₁ и CC₁ отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 3, CN = 1.а) Докажите, что плоскость MNB₁ разбивает призму…11 классABCD отмечены точки M и N соответственно, причём $AM:MB=CN:NB=3:1$На ребрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём $AM:MB=CN:NB=3:1$ Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.а) Доказать, что P, Q, M и N…11 классABCD отмечены точки M и N соответственно, причём $AM:MB=CN:NB=1:3$На ребрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём $AM:MB=CN:NB=1:3$ Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.а) Доказать, что P, Q, M и N…11 классВ треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: SA = SB =13, $SC=3В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: SA = SB =13, $SC=3 \sqrt{17}$ Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 12.а)…11 классРебро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCDРебро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 6. Точки K, L и M — центры граней ABCD, AA₁D₁D и CC₁D₁D соответственно.а) Докажите, что B₁KLM — правильная пирамида.б) Найдите объём B₁KLM. Критерии оценивания…11 классОснованием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ являетсяОснованием прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней $AA_1B_1B$ и $BB_1C_1C$ равны 15 и 9 соответственно,…11 классДана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точка MДана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Точка M расположена на SD так, что SM : SD = 2 : 3. P — середина ребра AD, а Q — середина ребра BC.а) Докажите, что сечение…11 классДана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основаниемДана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90°, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD…11 классВ треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: $SA=SB=7,SC=5$В треугольной пирамиде SABC известны боковые рёбра: $SA=SB=7,SC=5$ Основанием высоты этой пирамиды является середина медианы CM треугольника ABC. Эта высота равна 4.а) Докажите, что…11 классДана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основаниемДана пирамида PABCD, в основании — трапеция ABCD с большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90 градусов, а плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и…11 классВ треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 13, PBВ треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 13, PB = 15, $\cos \angle PBA= \frac{48}{65}$ Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC…11 классОснованием прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромбОснованием прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD, AB = AA₁.а) Докажите, что прямые A₁C и BD перпендикулярны.б) Найдите объем призмы, если A₁C = BD = 2. Критерии…11 классМедианы треугольника SBC пересекаются в точке M.а) Докажите, чтоВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна боковому ребру SA. Медианы треугольника SBC пересекаются в точке M.а) Докажите, что $AM=AD$ б) Точка N — середина AM.…11 классAB равна 6, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC отмеченыВ правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 5 : 1.…11 классВ правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA = 14, аВ правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA = 14, а сторона AB = 8. Точка М середина стороны AB Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC.…11 классВ треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 17, PBВ треугольной пирамиде PABC с основанием ABC известно, что AB = 17, PB = 10, $\cos \angle PBA= \frac{32}{85}$ Основанием высоты этой пирамиды является точка C. Прямые PA и BC…11 классНа рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK =В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = SK = 1.а) Докажите, что…11 классДана правильная треугольная пирамида SABC, M — середина AB, NДана правильная треугольная пирамида SABC, M — середина AB, N — середина CS.а) Докажите, что проекции отрезков MN и AS на плоскость ABC равны.б) Найдите объем пирамиды SABC, если AS = 8, MN…11 классТочка M лежит на ребре BC, причем BM = 1, точка K лежит на ребре SCВ правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 4, а боковое ребро SA = 7. Точка M лежит на ребре BC, причем BM = 1, точка K лежит на ребре SC, причем SK = 4.а) Докажите,…11 классТочка M лежит на ребре BC, причем BM = 4, точка K лежит на ребре SCВ правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания AB = 7, а боковое ребро SA = 10. Точка M лежит на ребре BC, причем BM = 4, точка K лежит на ребре SC, причем SK = 7.а)…11 классДана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ в которой AB = 6 и AA₁ =Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁ в которой AB = 6 и AA₁ = 3. Точки O и O₁ являются центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и A₁B₁C₁ cответственно. На ребре CC₁…11 классAB = 1 и AA₁ = 3. Точки O и O₁ являются центрами окружностей, описанныхДана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, в которой AB = 1 и AA₁ = 3. Точки O и O₁ являются центрами окружностей, описанных около треугольников ABC и A₁B₁C₁ cответственно. На ребре CC₁…11 классНа рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 2В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB = 8, а боковое ребро SA = 7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 2, SK = 1.а) Докажите, что…11 классДве боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромбДве боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, перпендикулярны к плоскости основания. а) Докажите, что две другие боковые грани образуют равные двугранные углы с плоскостью…11 классДана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16Дана правильная треугольная пирамида SABC, сторона основания AB = 16, высота SH = 10, точка K — середина AS. Плоскость, проходящая через точку K и параллельная основанию пирамиды,…11 класс
