Математика
Стереометрическая задача: страница 14
Тема «Стереометрическая задача» на экзамене: типовые задачи и ход рассуждения.
AB равна $4 \sqrt{13} ,$ а боковое ребро SA равно 14. На рёбрах AB и SCВ правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна $4 \sqrt{13} ,$ а боковое ребро SA равно 14. На рёбрах AB и SC отмечены точки К и М соответственно, причём AK : KB = SM :…11 классТочка M делит ребро A₁D₁ в отношении $A_1M : MD_1 = 2 : 3,$ точка KДана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями AD = 5 и BC = 3. Точка M делит ребро A₁D₁ в отношении $A_1M : MD_1 = 2 : 3,$ точка K — середина DD₁.a)…11 классAB, A₁B₁ и B₁C₁ отмечены точки K, L и M соответственно так, что KLMCВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ на ребрах AB, A₁B₁ и B₁C₁ отмечены точки K, L и M соответственно так, что KLMC — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 4.а) Докажите, что…11 классAB, A₁B₁ и B₁C₁ отмечены точки K, L и M соответственно так, что KLMCВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ на ребрах AB, A₁B₁ и B₁C₁ отмечены точки K, L и M соответственно так, что KLMC — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 8.а) Докажите, что…11 классТочки M и N — середины ребер AB и BC соответственно куба ABCDA₁B₁C₁D₁.Точки M и N — середины ребер AB и BC соответственно куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Прямые CM и DN пересекаются в точке O. Через центры граней ABB₁A₁ и BCC₁B₁ и точку O проходит плоскость α.а) Докажите,…11 классОснованием пирамиды с вершиной S является равнобедренная трапеция ABCDОснованием пирамиды с вершиной S является равнобедренная трапеция ABCD, в которой AD = 2BC. Сечение пирамиды SABCD проходит через точку B и является прямоугольником. Известно, что это…11 классИзвестно, что AK : KB = BL : LC = 2 : 1, SM : MC = 7 : 1.а) ДокажитеВ правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S на ребрах AB, BC и SC отмечены точки K, L и M соответственно. Известно, что AK : KB = BL : LC = 2 : 1, SM : MC = 7 : 1.а) Докажите,…11 классВ основании пирамиды SABCD с равными боковыми ребрами лежитВ основании пирамиды SABCD с равными боковыми ребрами лежит прямоугольник ABCD. Через точку пересечения медиан грани SBC и вершину A проходит плоскость α, параллельная ребру SD. а)…11 классABCD с острым углом A, равным 60°, а боковое ребро равно сторонеОснованием прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD с острым углом A, равным 60°, а боковое ребро равно стороне основания. Через середины ребер A₁D₁, D₁C₁ и точку B проведена плоскость…11 классУ правильной шестиугольной пирамиды ABCDEFS с вершиной S боковые ребраУ правильной шестиугольной пирамиды ABCDEFS с вершиной S боковые ребра вдвое длиннее стороны основания. Точка N делит диагональ основания AD в отношении AN : ND = 1 : 3. Плоскость α…11 классИзвестно, что $AB = 5 корень из 2 ,$ AD = 12, AA₁ = 16.а) Докажите, чтоНа ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 3 : 1, а на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB = 3 : 5. Известно, что $AB = 5 корень из 2 ,$ AD…11 классВ правильной четырехугольной призме ABCDA₁A₁B₁C₁D₁ точки M, N и K делятВ правильной четырехугольной призме ABCDA₁A₁B₁C₁D₁ точки M, N и K делят ребра AA₁, BB₁, DD₁ в отношении 1 : 5, 1 : 4 и 1 : 2 соответственно, считая от нижнего основания ABCD.а) Докажите,…11 классИзвестно, что $AB = 7 \sqrt{2} ,$ AD = 12, AA₁ = 14.а) Докажите, чтоНа ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 6 : 1, а на ребре BB₁ — точка F так, что B₁F : FB = 3 : 4. Известно, что $AB = 7 \sqrt{2} ,$ AD =…11 классЧерез середину высоты правильной четырёхугольной пирамиды SABCDЧерез середину высоты правильной четырёхугольной пирамиды SABCD параллельно основанию проведено сечение A₁B₁C₁D₁, диагонали которого пересекаются в точке O₁. На ребрах AD и SB отмечены…11 классДана правильная четырехугольная пирамида SABCD с основанием ABCD.Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с основанием ABCD. Плоскость α проходит через ребро AB и пересекает ребра SC и SD в точках M и N соответственно. Известно, что $AB = AN = BM =…11 классДана правильная призма ABCA₁B₁C₁. Точка K лежит на ребре AB и делит егоДана правильная призма ABCA₁B₁C₁. Точка K лежит на ребре AB и делит его в отношении AK : KB = 3 : 1. Точка L — середина ребра BC. Плоскость α проходит через точки K и L и пересекает ребра…11 классТочка T — середина ребра B₁C₁ а) Докажите, что сечение параллелепипедаНа ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 5 : 2. Точка T — середина ребра B₁C₁ а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD₁…11 классВ правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ боковое ребро вВ правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ боковое ребро в два раза больше стороны основания. Плоскость α проходит через центр основания ABCDEF перпендикулярно прямой BE₁.а)…11 классВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через ребро AB провелиВ правильной четырёхугольной пирамиде SABCD через ребро AB провели плоскость α, образующую сечение ABMN, где M и N — точки пересечения плоскости α с боковыми рёбрами SC и SD соответственно.…11 классТочка T — середина ребра B₁C₁ а) Докажите, что сечение параллелепипедаНа ребре AA₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA = 2 : 1. Точка T — середина ребра B₁C₁ а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью ETD₁…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M — середина SD, точка K — середина SA. а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости α.б) Найдите высоту пирамиды,…11 классНа ребрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AKВ правильном тетраэдре ABCD все ребра равны 10. На ребрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AK = 6.а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M — середина SD, точка K — середина SA.а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости α.б) Найдите объем пирамиды…11 классНа ребрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AKВ правильном тетраэдре ABCD все ребра равны 10. На ребрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AK = 4.а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два…11 классНа ребрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AKВ правильном тетраэдре ABCD все ребра равны 6. На ребрах AB и AD отмечены точки M и K соответственно так, что AM = AK = 2.а) Докажите, что плоскость CMK делит тетраэдр ABCD на два…11 классВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ а) Докажите, что плоскость BA₁C₁ и прямая $B_1D$В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ а) Докажите, что плоскость BA₁C₁ и прямая $B_1D$ перпендикулярны.б) Найдите косинус угла между плоскостями BA₁C₁ и BA₁D₁. Критерии оценивания выполнения задания | Баллы…11 классДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. а) Докажите, что прямые B₁D и AC перпендикулярны.Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. а) Докажите, что прямые B₁D и AC перпендикулярны. б) Найдите угол между плоскостями AB₁D₁ и ACD₁. Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | Имеется верное…11 классКосинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольнойКосинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен $\frac{\sqrt{3}}{4}$ а) Докажите, что плоский угол при вершине пирамиды равен $\arccos \frac{7}{25}$ б)…11 классКосинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольнойКосинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен $\frac{\sqrt{6}}{6}$ а) Докажите, что высота пирамиды, проведенная к боковой грани, больше чем высота…11 классВ кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ а) Докажите, что плоскости $AB_1D_1$ и $A_1BC$В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ а) Докажите, что плоскости $AB_1D_1$ и $A_1BC$ перпендикулярны.б) Найдите угол между плоскостями AB₁D₁ и ACD₁. Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | Имеется…11 классДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.а) Докажите, что плоскость $B_1CD_1$Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.а) Докажите, что плоскость $B_1CD_1$ перпендикулярна прямой $AC_1$ б) Найдите косинус угла между плоскостями AB₁D₁ и ACD₁. Критерии оценивания выполнения задания |…11 классНайдите тангенс угла между плоскостями CDD₁ и BDA₁.Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.а) Докажите, что плоскости $A_1BD$ и $B_1CD_1$ параллельны.б) Пусть дополнительно известно, что параллелепипед прямоугольный, кроме того AB = 4, BC = 6, CC₁…11 классAB = 35, AD = 12, CC₁ = 21.а) Докажите, что высоты треугольников ABD иВ прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны рёбра AB = 35, AD = 12, CC₁ = 21.а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A₁BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.б)…11 классДокажите, что угол EAC — прямой.б) Найдите угол между плоскостями ABC иВ правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 7, точка D — середина ребра BB₁.а) Пусть прямые C₁D и BC пересекаются в точке E. Докажите, что угол…11 классКритерии оценивания выполнения заданияВ правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1.а) Докажите, что плоскости AA₁D₁ и DB₁F₁ перпендикулярны.б) Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DB₁F₁.…11 классДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.а) Докажите, что прямая BD₁ перпендикулярнаДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.а) Докажите, что прямая BD₁ перпендикулярна плоскости ACB₁.б) Найдите угол между плоскостями AD₁C₁ и A₁D₁C. Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | Имеется…11 классНайдите угол между плоскостями ABC и A₁DB.Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.а) Докажите, что плоскости $A_1BD$ и $B_1CD_1$ параллельны.б) Пусть дополнительно известно, что параллелепипед прямоугольный, кроме того AB = 6, BC = 8, CC₁…11 классДан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. а) Докажите, что плоскости $A_1BD$ иДан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. а) Докажите, что плоскости $A_1BD$ и $B_1CD_1$ параллельны.б) Пусть известно еще, что параллелепипед прямоугольный, а кроме того AB = 6, BC = 6, CC₁ = 4.…11 классДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.а) Докажите, что прямая B₁D перпендикулярнаДан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.а) Докажите, что прямая B₁D перпендикулярна плоскости A₁BC₁.б) Найдите угол между плоскостями AB₁C₁ и A₁B₁C. Критерии оценивания выполнения задания | Баллы | Имеется…11 классКритерии оценивания выполнения заданияДана прямая призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Основание призмы — ромб с острым углом $A=60^{\circ}$ а) Докажите, что $AD_1=DB_1$ б) Найдите угол между плоскостью AC₁B и плоскостью ABD, если высота…11 класс
