X + \frac{Пи}{4} ) - 2 \sqrt{2} \sin ( Пи - x ) = 0$ б) Найдите корни

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Последовательно получаем: $2 \sin ( x + \frac{Пи}{4} ) - 2 \sqrt{2} \sin ( Пи - x ) = 0 \Leftrightarrow \sin ( x + \frac{Пи}{4} ) - \sqrt{2} \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x \cos \frac{Пи}{4} + \cos x \sin \frac{Пи}{4} - \sqrt{2} \sin x = 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \sqrt{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \Leftrightarrow \cos x = \sin x \Leftrightarrow \ctg x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{4} + Пи k, k \in Z$ $2 \sin ( x + \frac{Пи}{4} ) - 2 \sqrt{2} \sin ( Пи - x ) = 0 \Leftrightarrow \sin ( x + \frac{Пи}{4} ) - \sqrt{2} \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x \cos \frac{Пи}{4} + \cos x \sin \frac{Пи}{4} - \sqrt{2} \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \sqrt{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x = \sin x \Leftrightarrow \ctg x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{4} + Пи k, k \in Z$ $2 \sin ( x + \frac{Пи}{4} ) - 2 \sqrt{2} \sin ( Пи - x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin ( x + \frac{Пи}{4} ) - \sqrt{2} \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x \cos \frac{Пи}{4} + \cos x \sin \frac{Пи}{4} - \sqrt{2} \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \sqrt{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos x = \sin x \Leftrightarrow \ctg x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{4} + Пи k, k \in Z$ $2 \sin ( x + \frac{Пи}{4} ) - 2 \sqrt{2} \sin ( Пи - x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin ( x + \frac{Пи}{4} ) - \sqrt{2} \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x \cos \frac{Пи}{4} + \cos x \sin \frac{Пи}{4} - \sqrt{2} \sin x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \sqrt{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x \Leftrightarrow \cos x = \sin x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \ctg x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{4} + Пи k, k \in Z$ б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.).