\sqrt{3} \sin ( \frac{3 Пи}{2} - \frac{x}{2} ) + 1=0$ б) Укажите корни

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Преобразуем исходное уравнение, используя формулы $\cos x = 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1$ и $\sin ( \frac{3 Пи}{2} - \frac{x}{2} ) = - \cos \frac{x}{2}$ : $2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1 - \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} + 1=0 \Leftrightarrow 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} =0 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} ( 2 \cos \frac{x}{2} - \sqrt{3} ) =0 \Leftrightarrow$ $2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1 - \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} + 1=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} =0 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} ( 2 \cos \frac{x}{2} - \sqrt{3} ) =0 \Leftrightarrow$ $2 \cos^{2} \frac{x}{2} - 1 - \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} + 1=0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 \cos^{2} \frac{x}{2} - \sqrt{3} \cos \frac{x}{2} =0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} ( 2 \cos \frac{x}{2} - \sqrt{3} ) =0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos \frac{x}{2} =0, \cos \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} конец совокупности \Leftrightarrow совокупность выражений \frac{x}{2} = \frac{Пи}{2} + Пи k, \frac{x}{2} = \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, \frac{x}{2} = - \frac{Пи}{6} + 2 Пи k конец совокупности \Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи + 2 Пи k, x= \frac{Пи}{3} + 4 Пи k, x= - \frac{Пи}{3} + 4 Пи k, k \in Z . конец совокупности$ [рисунок] б) Если $минус 4 Пи \leqslant x \leqslant - \frac{5 Пи}{2} ,$ то $минус 2 Пи \leqslant \frac{x}{2} \leqslant - \frac{5 Пи}{4}$ С помощью окружности выберем какие из чисел $\frac{Пи}{2} + Пи k,$ $\pm \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, k \in Z$ принадлежат отрезку [ - 2 Пи ; - 1,25 Пи ] (см. рис.).