\sqrt{3 - \operatorname{tg}^{2} \frac{3x}{2}} - \cos x=2$ б) Укажите

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Перенесем $\cos x$ в правую часть, заметим, что сумма $2 + \cos x$ не принимает отрицательных значений. Следовательно, при условии $\sin x \geqslant 0$ возведение обеих частей уравнения в квадрат является равносильным преобразованием. Имеем: $\sin^{2} x \cdot ( 3 - \operatorname{tg}^{2} \frac{3x}{2} ) = ( 2 + \cos x )^{2}$ Выразим множители, стоящие в левой части уравнения, через $\cos x$ В силу основного тригонометрического тождества $\sin^{2} x = 1 - \cos^{2} x$ Чтобы преобразовать первый множитель, воспользуемся формулой $\operatorname{tg}^{2} альфа = \frac{1}{} \cos^{2} альфа - 1,$ откуда получим: $3 - \operatorname{tg}^{2} \frac{3x}{2} = 4 - \frac{1}{} \cos^{2} \frac{3x}{2}$ Далее применим формулы косинуса тройного угла \cos 3 альфа = 4 \cos^{3} альфа } - 3 \cos альфа } и косинуса половинного угла $\cos^{2} \frac{x}{2} = \frac{1}{2} ( 1 + \cos x )$ : $\cos^{2} \frac{3x}{2} = ( 4 \cos^{3} \frac{x}{2} - 3 \cos \frac{x}{2} )^{2} = \cos^{2} \frac{x}{2} ( 4 \cos^{2} \frac{x}{2} - 3 )^{2} = \frac{1}{2} ( 1 + \cos x ) \cdot ( 2 ( 1 + \cos x ) - 3 )^{2}$ $\cos^{2} \frac{3x}{2} = ( 4 \cos^{3} \frac{x}{2} - 3 \cos \frac{x}{2} )^{2} =$ $= \cos^{2} \frac{x}{2} ( 4 \cos^{2} \frac{x}{2} - 3 )^{2} = \frac{1}{2} ( 1 + \cos x ) \cdot ( 2 ( 1 + \cos x ) - 3 )^{2}$ $\cos^{2} \frac{3x}{2} = ( 4 \cos^{3} \frac{x}{2} - 3 \cos \frac{x}{2} )^{2} =$ $= \cos^{2} \frac{x}{2} ( 4 \cos^{2} \frac{x}{2} - 3 )^{2} =$ $= \frac{1}{2} ( 1 + \cos x ) \cdot ( 2 ( 1 + \cos x ) - 3 )^{2}$ Пусть $t = \cos x,$ тогда имеем: $( 1 - t^{2} ) ( 4 - \frac{1}{} \frac{1}{2} ( 1 + t ) ( 2t - 1 )^{2} ) = ( 2 + t )^{2} \Leftrightarrow 4 ( 1 - t^{2} ) - \frac{2 ( 1 - t^{2} )}{( 1 + t ) \cdot ( 2t - 1 )^{2}} = t^{2} + 4t + 4 \Leftrightarrow$ $( 1 - t^{2} ) ( 4 - \frac{1}{} \frac{1}{2} ( 1 + t ) ( 2t - 1 )^{2} ) = ( 2 + t )^{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 4 ( 1 - t^{2} ) - \frac{2 ( 1 - t^{2} )}{( 1 + t ) \cdot ( 2t - 1 )^{2}} = t^{2} + 4t + 4 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2 ( t - 1 )}{( 2t - 1 )^{2}} = 5 t^{2} + 4t, t \neq - 1 \Leftrightarrow 2t - 2 = ( 5t^{2} + 4t ) ( 2t - 1 )^{2} , t \neq - 1, t \neq \frac{1}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \frac{2 ( t - 1 )}{( 2t - 1 )^{2}} = 5 t^{2} + 4t, t \neq - 1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2t - 2 = ( 5t^{2} + 4t ) ( 2t - 1 )^{2} , t \neq - 1, t \neq \frac{1}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2t - 2 = ( 5t^{2} + 4t ) ( 4t^{2} - 4t + 1 ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 20t^{4} - 4t^{3} - 11t^{2} + 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений t = - \frac{1}{2} кр. 2,5t^{2} - 6t + 2 =0 конец совокупности . \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 2t - 2 = ( 5t^{2} + 4t ) ( 4t^{2} - 4t + 1 ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 20t^{4} - 4t^{3} - 11t^{2} + 2t + 2 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений t = - \frac{1}{2} кр. 2,5t^{2} - 6t + 2 =0 конец совокупности . \Leftrightarrow t = - \frac{1}{2}$ Вернемся к исходной переменной, получим уравнение $\cos x = - \frac{1}{2} ,$ откуда $x = \pm \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k, k \in Z$ Учитывая условие $\sin x \geqslant 0,$ окончательно получаем: $x = \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k, k \in Z$ б) Чтобы найти корни на заданном отрезке, решим двойное неравенство: $минус 17 \leqslant \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k \leqslant 2 \Leftrightarrow - \frac{17}{Пи} \leqslant \frac{2}{3} + 2k \leqslant \frac{2}{Пи} \Leftrightarrow - \frac{17}{2 Пи} - \frac{1}{3} \leqslant k \leqslant \frac{1}{Пи} - \frac{1}{3}$ $минус 17 \leqslant \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k \leqslant 2 \Leftrightarrow - \frac{17}{Пи} \leqslant \frac{2}{3} + 2k \leqslant \frac{2}{Пи} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow - \frac{17}{2 Пи} - \frac{1}{3} \leqslant k \leqslant \frac{1}{Пи} - \frac{1}{3}$ Так как $3 < Пи < 4,$ правая часть полученного двойного неравенства лежит в интервале (−1; 0). Значения k целые, поэтому наибольшее значение k = −1. Оценим левую часть: $минус \frac{17}6 < - \frac{17}{2 Пи} < - \frac{17}{8} \Leftrightarrow - \frac{19}6 < - \frac{17}{2 Пи} - \frac{{}{1}}{3} < - \frac{{}{5} 9}{24}$ Поскольку $минус \frac{59}{24} < - 2,$ подходит также значение k = −2. Поскольку $минус \frac{19}{6} > - 4,$ осталось проверить значение k = −3. Покажем, что $минус \frac{17}{2 Пи} - \frac{1}{3} < - 3$ : $минус \frac{17}{2 Пи} - \frac{1}{3} < - 3 \Leftrightarrow \frac{8}{3} < \frac{17}{2 Пи} \Leftrightarrow Пи < \frac{51}{16} \Leftrightarrow Пи < 3,1875$ Итак, k = −3, k = −2 или k = −1. Найденным значениям k соответствуют корни $минус \frac{16 Пи}{3} ,$ $минус \frac{10 Пи}{3} ,$ и $минус \frac{4 Пи}{3}$