\sqrt{2 \cos x - 2 \cos^{3} x} = 0$ б) Укажите корни этого уравнения

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. a) Преобразуем уравнение: $\sin 2x + \sqrt{2 \cos x - 2 \cos^{3} x} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2 \cos x \sin^{2} x} = - \sin 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2 \cos x \sin^{2} x} = - 2 \sin x \cos x \Leftrightarrow система выражений 2 \cos x \sin^{2} x = 4 \sin^{2} x \cos^{2} x, \sin x \cos x \leqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x \cos x = 0, система выражений 2 \cos x = 1, \sin x \cos x < 0 конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \sin x \cos x = 0, система выражений \cos x = \frac{1}{2} , \sin x < 0 конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи k}{2} , x = - \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $\sin 2x + \sqrt{2 \cos x - 2 \cos^{3} x} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2 \cos x \sin^{2} x} = - \sin 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2 \cos x \sin^{2} x} = - 2 \sin x \cos x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 2 \cos x \sin^{2} x = 4 \sin^{2} x \cos^{2} x, \sin x \cos x \leqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow совокупность выражений \sin x \cos x = 0, система выражений 2 \cos x = 1, \sin x \cos x < 0 конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x \cos x = 0, система выражений \cos x = \frac{1}{2} , \sin x < 0 конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи k}{2} , x = - \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $\sin 2x + \sqrt{2 \cos x - 2 \cos^{3} x} = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2 \cos x \sin^{2} x} = - \sin 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2 \cos x \sin^{2} x} = - 2 \sin x \cos x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 2 \cos x \sin^{2} x = 4 \sin^{2} x \cos^{2} x, \sin x \cos x \leqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x \cos x = 0, система выражений 2 \cos x = 1, \sin x \cos x < 0 конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \sin x \cos x = 0, система выражений \cos x = \frac{1}{2} , \sin x < 0 конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи k}{2} , x = - \frac{Пи}{3} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ [рисунок] б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.).