( \sqrt{2} \cos ( \frac{Пи}{2} - x ) + 2 \sin 2 x + 81 ) =4$ б) Найдите

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Преобразуем исходное уравнение: $\log по основанию 3 ( \sqrt{2} \cos ( \frac{Пи}{2} - x ) + 2 \sin 2 x + 81 ) = 4 \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x + 2 \sin 2x + 81 = 3^{4} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x + 4 \sin x \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin x ( \sqrt{2} + 4 \cos x ) = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \sin x =0, \sqrt{2} + 4 \cos x =0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x =0 , \cos x = - \frac{\sqrt{2}}{4} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,x= \arccos ( - \frac{\sqrt{2}}{4} ) + 2 Пи k, x= - \arccos ( - \frac{\sqrt{2}}{4} ) + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow \Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,x= Пи - \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k, x= - Пи + \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k , конец совокупности . k \in Z$ $\log по основанию 3 ( \sqrt{2} \cos ( \frac{Пи}{2} - x ) + 2 \sin 2 x + 81 ) = 4 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x + 2 \sin 2x + 81 = 3^{4} \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x + 4 \sin x \cos x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x ( \sqrt{2} + 4 \cos x ) = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \sin x =0, \sqrt{2} + 4 \cos x =0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \sin x =0 , \cos x = - \frac{\sqrt{2}}{4} конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,x= \arccos ( - \frac{\sqrt{2}}{4} ) + 2 Пи k, x= - \arccos ( - \frac{\sqrt{2}}{4} ) + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow \Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,x= Пи - \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k, x= - Пи + \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k , конец совокупности . k \in Z$ $\log по основанию 3 ( \sqrt{2} \cos ( \frac{Пи}{2} - x ) + 2 \sin 2 x + 81 ) = 4 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x + 2 \sin 2x + 81 = 3^{4} \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x + 4 \sin x \cos x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x ( \sqrt{2} + 4 \cos x ) = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \sin x =0, \sqrt{2} + 4 \cos x =0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x =0 , \cos x = - \frac{\sqrt{2}}{4} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,x= \arccos ( - \frac{\sqrt{2}}{4} ) + 2 Пи k, x= - \arccos ( - \frac{\sqrt{2}}{4} ) + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,x= Пи - \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k, x= - Пи + \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k , конец совокупности . k \in Z$ $\log по основанию 3 ( \sqrt{2} \cos ( \frac{Пи}{2} - x ) + 2 \sin 2 x + 81 ) = 4 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x + 2 \sin 2x + 81 = 3^{4} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x + 4 \sin x \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin x ( \sqrt{2} + 4 \cos x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x =0, \sqrt{2} + 4 \cos x =0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \sin x =0 , \cos x = - \frac{\sqrt{2}}{4} конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,x= \arccos ( - \frac{\sqrt{2}}{4} ) + 2 Пи k, x= - \arccos ( - \frac{\sqrt{2}}{4} ) + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,x= Пи - \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k, x= - Пи + \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k , конец совокупности . k \in Z$ $\log по основанию 3 ( \sqrt{2} \cos ( \frac{Пи}{2} - x ) + 2 \sin 2 x + 81 ) = 4 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x + 2 \sin 2x + 81 = 3^{4} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x + 4 \sin x \cos x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin x ( \sqrt{2} + 4 \cos x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x =0, \sqrt{2} + 4 \cos x =0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \sin x =0 , \cos x = - \frac{\sqrt{2}}{4} конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,x= \arccos ( - \frac{\sqrt{2}}{4} ) + 2 Пи k, x= - \arccos ( - \frac{\sqrt{2}}{4} ) + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений x= Пи k,x= Пи - \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k, x= - Пи + \arccos \frac{\sqrt{2}}{4} + 2 Пи k , конец совокупности . k \in Z$ б) Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $[ Пи ; \frac{5 Пи}{2} ] ,$ при помощи тригонометрической окружности.