( \sin 2x ) = \log по основанию 2 ( \sqrt{2} \cos x )$ б) Найдите все

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Последовательно получаем: $\log по основанию 2 ( \sin 2x ) = \log по основанию 2 ( \sqrt{2} \cos x ) \Leftrightarrow система выражений \sin 2x = \sqrt{2} \cos x, \sqrt{2} \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений 2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x = 0, \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x ( 2 \sin x - \sqrt{2} ) = 0, \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} , \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x = \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, x = \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k, конец системы . \cos x > 0 конец совокупности . \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, k \in Z$ $\log по основанию 2 ( \sin 2x ) = \log по основанию 2 ( \sqrt{2} \cos x ) \Leftrightarrow система выражений \sin 2x = \sqrt{2} \cos x, \sqrt{2} \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x = 0, \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \cos x ( 2 \sin x - \sqrt{2} ) = 0, \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} , \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x = \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, x = \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k, конец системы . \cos x > 0 конец совокупности . \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, k \in Z$ $\log по основанию 2 ( \sin 2x ) = \log по основанию 2 ( \sqrt{2} \cos x ) \Leftrightarrow система выражений \sin 2x = \sqrt{2} \cos x, \sqrt{2} \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x = 0, \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x ( 2 \sin x - \sqrt{2} ) = 0, \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} , \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x = \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, x = \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k, конец системы . \cos x > 0 конец совокупности . \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, k \in Z$ $\log по основанию 2 ( \sin 2x ) = \log по основанию 2 ( \sqrt{2} \cos x ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \sin 2x = \sqrt{2} \cos x, \sqrt{2} \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x = 0, \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x ( 2 \sin x - \sqrt{2} ) = 0, \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} , \cos x > 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x = \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, x = \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k, конец системы . \cos x > 0 конец совокупности . \Leftrightarrow x = \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, k \in Z$ б) Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.).