Присоединиться

11 класс·средний уровень

\sin 2x= \cos x + \sin x + 1$ б) Найдите все корни этого уравнения

Условие

а) Решите уравнение cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡x+sin⁡x+1\cos 2x - \sin 2x= \cos x + \sin x + 1 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−5Пи2;−Пи][ - \frac{5 Пи}{2} ; - Пи ]

Ответ

Ответ и полный разбор откроются после входа

Посмотреть ответ

Решение по шагам

  1. Как рассуждать

    Решение. а) Преобразуем уравнение: cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡x+sin⁡x+1⇔cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡x+sin⁡x+cos⁡2x+sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x⇔\cos 2x - \sin 2x= \cos x + \sin x + 1 \Leftrightarrow \cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos x + \sin x + \cos^{2} x + \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x \Leftrightarrow ⇔cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡x+sin⁡x+(cos⁡x+sin⁡x)2⇔\Leftrightarrow \cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos x + \sin x + ( \cos x + \sin x )^{2} \Leftrightarrow ⇔(cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x−sin⁡x−1−(cos⁡x+sin⁡x))=0⇔(cos⁡x+sin⁡x)(−2sin⁡x−1)=0\Leftrightarrow ( \cos x + \sin x ) ( \cos x - \sin x - 1 - ( \cos x + \sin x ) ) = 0 \Leftrightarrow ( \cos x + \sin x ) ( - 2 \sin x - 1 ) =0 cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡x+sin⁡x+1⇔\cos 2x - \sin 2x= \cos x + \sin x + 1 \Leftrightarrow ⇔cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡x+sin⁡x+cos⁡2x+sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x⇔\Leftrightarrow \cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos x + \sin x + \cos^{2} x + \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x \Leftrightarrow ⇔cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡x+sin⁡x+(cos⁡x+sin⁡x)2⇔\Leftrightarrow \cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos x + \sin x + ( \cos x + \sin x )^{2} \Leftrightarrow ⇔(cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x−sin⁡x−1−(cos⁡x+sin⁡x))=0⇔(cos⁡x+sin⁡x)(−2sin⁡x−1)=0\Leftrightarrow ( \cos x + \sin x ) ( \cos x - \sin x - 1 - ( \cos x + \sin x ) ) = 0 \Leftrightarrow ( \cos x + \sin x ) ( - 2 \sin x - 1 ) =0 cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡x+sin⁡x+1⇔\cos 2x - \sin 2x= \cos x + \sin x + 1 \Leftrightarrow ⇔cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡x+sin⁡x+cos⁡2x+sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x⇔\Leftrightarrow \cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos x + \sin x + \cos^{2} x + \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x \Leftrightarrow ⇔cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡x+sin⁡x+(cos⁡x+sin⁡x)2⇔\Leftrightarrow \cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos x + \sin x + ( \cos x + \sin x )^{2} \Leftrightarrow ⇔(cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x−sin⁡x−1−(cos⁡x+sin⁡x))=0⇔\Leftrightarrow ( \cos x + \sin x ) ( \cos x - \sin x - 1 - ( \cos x + \sin x ) ) = 0 \Leftrightarrow ⇔(cos⁡x+sin⁡x)(−2sin⁡x−1)=0\Leftrightarrow ( \cos x + \sin x ) ( - 2 \sin x - 1 ) =0 Приравняем каждую скобку к нулю: совокупностьвыраженийcos⁡x+sin⁡x=0,−2sin⁡x−1=0конецсовокупности.⇔совокупностьвыраженийsin⁡x=−cos⁡x,sin⁡x=−12конецсовокупности.⇔совокупностьвыраженийx=−Пи4+Пиk,x=−Пи6+2Пиk,x=−5Пи6+2Пиk,конецсовокупности.k∈Zсовокупность выражений \cos x + \sin x = 0, - 2 \sin x - 1 = 0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \sin x = - \cos x, \sin x = - \frac{1}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = - \frac{Пи}{4} + Пи k ,x = - \frac{Пи}{6} + 2 Пи k, x = - \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z б) Отберем корни на промежутке [−5Пи2;−Пи][ - \frac{5 Пи}{2} ; - Пи ] с помощью неравенств: минус5Пи2⩽−Пи4+Пиk⩽−Пи⇔−10⩽−1+4k⩽−4⇔−9⩽4k⩽−3минус \frac{5 Пи}{2} \leqslant - \frac{Пи}{4} + Пи k \leqslant - Пи \Leftrightarrow - 10 \leqslant - 1 + 4k \leqslant - 4 \Leftrightarrow - 9 \leqslant 4k \leqslant - 3 следовательно, k=−1;k=−2k = - 1; k = - 2 Получим: минусПи4−Пи=−5Пи4;−Пи4−2Пи=−9Пи4минус \frac{Пи}{4} - Пи = - \frac{5 Пи}{4} ; - \frac{Пи}{4} - 2 Пи = - \frac{9 Пи}{4} Второй корень: минус5Пи2⩽−Пи6+2Пиk⩽−Пи⇔−15⩽−1+12k⩽−6⇔−14⩽12k⩽−5,минус \frac{5 Пи}{2} \leqslant - \frac{Пи}{6} + 2 Пи k \leqslant - Пи \Leftrightarrow - 15 \leqslant - 1 + 12k \leqslant - 6 \Leftrightarrow - 14 \leqslant 12k \leqslant - 5, минус5Пи2⩽−Пи6+2Пиk⩽−Пи⇔минус \frac{5 Пи}{2} \leqslant - \frac{Пи}{6} + 2 Пи k \leqslant - Пи \Leftrightarrow ⇔−15⩽−1+12k⩽−6⇔−14⩽12k⩽−5,\Leftrightarrow - 15 \leqslant - 1 + 12k \leqslant - 6 \Leftrightarrow - 14 \leqslant 12k \leqslant - 5, тогда k=−1k = - 1 При подставлении данного k получим: минусПи6−2Пи=−13Пи6минус \frac{Пи}{6} - 2 Пи = - \frac{13 Пи}{6} Третий корень: минус5Пи2⩽−5Пи6+2Пиk⩽−Пи⇔−15⩽−5+12k⩽−6⇔−10⩽12k⩽−1⇔−56⩽k⩽−112минус \frac{5 Пи}{2} \leqslant - \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k \leqslant - Пи \Leftrightarrow - 15 \leqslant - 5 + 12k \leqslant - 6 \Leftrightarrow - 10 \leqslant 12k \leqslant - 1 \Leftrightarrow - \frac{5}{6} \leqslant k \leqslant - \frac{1}{} 12 минус5Пи2⩽−5Пи6+2Пиk⩽−Пи⇔−15⩽−5+12k⩽−6⇔минус \frac{5 Пи}{2} \leqslant - \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k \leqslant - Пи \Leftrightarrow - 15 \leqslant - 5 + 12k \leqslant - 6 \Leftrightarrow ⇔−10⩽12k⩽−1⇔−56⩽k⩽−112\Leftrightarrow - 10 \leqslant 12k \leqslant - 1 \Leftrightarrow - \frac{5}{6} \leqslant k \leqslant - \frac{1}{} 12 минус5Пи2⩽−5Пи6+2Пиk⩽−Пи⇔минус \frac{5 Пи}{2} \leqslant - \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи k \leqslant - Пи \Leftrightarrow ⇔−15⩽−5+12k⩽−6⇔\Leftrightarrow - 15 \leqslant - 5 + 12k \leqslant - 6 \Leftrightarrow ⇔−10⩽12k⩽−1⇔−56⩽k⩽−112\Leftrightarrow - 10 \leqslant 12k \leqslant - 1 \Leftrightarrow - \frac{5}{6} \leqslant k \leqslant - \frac{1}{} 12 Данное неравенство не имеет целых решений.

Осталось ещё 1 шаг

  1. Полный разбор с проверкой ответа

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Другие задачи по теме «Уравнения»

X - \frac{1}{2} ) - 8 \cdot 3 в степени ( x - 1 ) + 5=0$ б) Найдите все11 класса) Решите уравнение: $4 в степени ( x ) - 2 в степени ( x + 3 ) + 15=0$11 класса) Решите уравнение $27^{x} - 5 \cdot 9^{x} - 3 в степени ( x + 2 ) +11 классX^{2} - 2x + 1 ) + 4 в степени ( x^{2} - 2x ) =20$ б) Найдите все корни11 класса) Решите уравнение $3 \cdot 9 в степени ( x - \frac{1}{2} ) - 7 \cdot11 класс
Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же
\sin 2x= \cos x + \sin x + 1$ б) Найдите все корни этого уравнения — решение с объяснением | Lom Ai