\sin^{2} x \cdot \cos x - 13 \sin x \cdot \cos^{2} x - 6 \cos^{3} x=

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] Заметим, что по формуле приведения $\cos ( \frac{Пи}{6} - x ) = \sin ( \frac{Пи}{2} - ( \frac{Пи}{6} - x ) ) = \sin ( \frac{Пи}{3} + x ) ,$ а потому правая часть равна нулю. Тогда уравнение принимает вид $2 \sin^{3} x - \sin^{2} x \cdot \cos x - 13 \sin x \cdot \cos^{2} x - 6 \cos^{3} x=0,$ а значит, является полным однородным тригонометрическим уравнением третьей степени. Разделив обе части уравнения на $\cos^{3} x,$ получим кубическое уравнение относительно тангенса: $2 \operatorname{tg}^{3} x - \operatorname{tg}^{2} x - 13 \operatorname{tg} x - 6=0$ Обозначим $\operatorname{tg} x=t$ и решим его методом группировки: $2t^{3} - t^{2} - 13t - 6=0 \Leftrightarrow 2t^{3} + 4t^{2} - 5t^{2} - 10t - 3t - 6=0 \Leftrightarrow$ \Leftrightarrow 2t^{2} ( t + 2 ) - 5t ( t + 2 ) - 3 ( t + 2 ) =0 \Leftrightarrow ( t + 2 ) ( 2t^{2} - 5t - 3 ) =0 \Leftrightarrow совокупность выражений t=3,t= - $\frac{1}{2}$ ,t= -