= \sqrt{2} \sin 2x$ б) Найдите решения уравнения, принадлежащие отрезку

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Возведем обе части уравнения в квадрат: $	\cos x + \sin x	= \sqrt{2} \sin 2x \Leftrightarrow система выражений ( \cos x + \sin x )^{2} =2 \sin^{2} 2x, \sin 2x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений 1 + \sin 2x=2 \sin^{2} 2x, \sin 2x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$$	\cos x + \sin x	= \sqrt{2} \sin 2x \Leftrightarrow система выражений ( \cos x + \sin x )^{2} =2 \sin^{2} 2x, \sin 2x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$
   $\Leftrightarrow система выражений 1 + \sin 2x=2 \sin^{2} 2x, \sin 2x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $	\cos x + \sin x	= \sqrt{2} \sin 2x \Leftrightarrow$

   $\Leftrightarrow система выражений ( \cos x + \sin x )^{2} =2 \sin^{2} 2x, \sin 2x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 1 + \sin 2x=2 \sin^{2} 2x, \sin 2x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений \sin 2x=1; \sin 2x= - \frac{1}{2} , конец системы \sin 2x \geqslant 0 конец совокупности . \Leftrightarrow \sin 2x=1 \Leftrightarrow 2x= \frac{Пи}{2} + 2 Пи k \Leftrightarrow x= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i4 + Пи k, k \in Z$ б) Если $k \leqslant 0,$ то $x \leqslant \frac{Пи}{4} < 1,$ поэтому при таких k решений на отрезке [3; 5] нет.

   Если $k=1,$ то $x= \frac{5 Пи}{4}$ Заметим, что $3 = \frac{12}{4} < \frac{5 Пи}{4} < \frac{20}{4} = 5,$ поэтому корень $\frac{5 Пи}{4}$ лежит на отрезке [3; 5].Если $k \geqslant 2,$ то $x \geqslant \frac{9 Пи}{4} > 6,$ поэтому при таких k решений на отрезке [3; 5] нет.