\cos^{3} x= \sin^{2} x + \cos^{2} x$ б) Укажите корни этого уравнения

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Преобразуем уравнение: $\sin^{3} x + \cos^{3} x= \sin^{2} x + \cos^{2} x \Leftrightarrow ( \sin x + \cos x ) ( 1 - \sin x \cos x ) =1$ Заметим, что $( \sin x + \cos x )^{2} =1 + 2 \sin x \cos x \Leftrightarrow \sin x \cos x = \frac{1}{2} ( \sin x + \cos x )^{2} - \frac{1}{2}$ Подставив в уравнение, получим $( \sin x + \cos x ) ( 1 - ( \frac{1}{2} ( \sin x + \cos x )^{2} - \frac{1}{2} ) ) = 1 \Leftrightarrow ( \sin x + \cos x ) ( \frac{3}{2} - \frac{1}{2} ( \sin x + \cos x )^{2} ) =1$ $( \sin x + \cos x ) ( 1 - ( \frac{1}{2} ( \sin x + \cos x )^{2} - \frac{1}{2} ) ) = 1 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sin x + \cos x ) ( \frac{3}{2} - \frac{1}{2} ( \sin x + \cos x )^{2} ) =1$ Сделав замену $t= \sin x + \cos x,$ получим уравнение t ( 3 - t^{2} ) =2 \Leftrightarrow t^{3} - 3t + 2=0 \Leftrightarrow ( t - 1 )^{2} ( t + 2 ) =0 \Leftrightarrow совокупность выражений t=1,t= -