\cos^{3} x= \cos 2 x$ б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Преобразуем уравнение: $\sin^{3} x + \cos^{3} x= \cos 2 x \Leftrightarrow \sin^{3} x + \cos^{3} x = \cos^{2} - \sin^{2} x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sin x + \cos x ) ( \sin^{2} x - \sin x \cos x + \cos^{2} x ) + ( \sin x + \cos x ) ( \sin x - \cos x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sin x + \cos x ) ( 1 - \sin x \cos x + \sin x - \cos x ) = 0 \Leftrightarrow ( \sin x + \cos x ) ( 1 - \cos x ) ( 1 + \sin x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x = - \cos x, \cos x=1, \sin x= - 1 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= - \frac{Пи }4 + Пи k, x=2 Пи k, x= - \frac{Пи}{2} + 2 Пи k, конец совокупности .k \in \mathbb{Z}{.}$ $\sin^{3} x + \cos^{3} x= \cos 2 x \Leftrightarrow \sin^{3} x + \cos^{3} x = \cos^{2} - \sin^{2} x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sin x + \cos x ) ( \sin^{2} x - \sin x \cos x + \cos^{2} x ) + ( \sin x + \cos x ) ( \sin x - \cos x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sin x + \cos x ) ( 1 - \sin x \cos x + \sin x - \cos x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sin x + \cos x ) ( 1 - \cos x ) ( 1 + \sin x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x = - \cos x, \cos x=1, \sin x= - 1 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= - \frac{Пи }4 + Пи k, x=2 Пи k, x= - \frac{Пи}{2} + 2 Пи k, конец совокупности .k \in \mathbb{Z}{.}$ $\sin^{3} x + \cos^{3} x= \cos 2 x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin^{3} x + \cos^{3} x = \cos^{2} - \sin^{2} x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sin x + \cos x ) ( \sin^{2} x - \sin x \cos x + \cos^{2} x ) + ( \sin x + \cos x ) ( \sin x - \cos x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sin x + \cos x ) ( 1 - \sin x \cos x + \sin x - \cos x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow ( \sin x + \cos x ) ( 1 - \cos x ) ( 1 + \sin x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin x = - \cos x, \cos x=1, \sin x= - 1 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= - \frac{Пи }4 + Пи k, x=2 Пи k, x= - \frac{Пи}{2} + 2 Пи k, конец совокупности .k \in \mathbb{Z}{.}$ б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.).