а) Решите уравнение $\sqrt{\sin x - \cos x} \cdot ( \cos x + \cos 2x )

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Исходное уравнение равносильно системе: [рисунок] $система выражений совокупность выражений \cos x + \cos 2x=0, \sin x - \cos x=0, конец системы . \sin x - \cos x\geqslant0 конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений 2 \cos^{2} x + \cos x - 1=0, \operatorname{tg} x=1, конец системы . \frac{Пи}{4} + 2 Пи n \leqslant x \leqslant \frac{5 Пи}{4} + 2 Пи n конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений \cos x= - 1, \cos x= \frac{1}{2} , \operatorname{tg} x=1, конец системы . \frac{Пи}{4} + 2 Пи n \leqslant x \leqslant \frac{5 Пи}{4} + 2 Пи n конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x= Пи + 2 Пи k,x=\pm \frac{Пи}{3} + 2 Пи k,x= \frac{Пи}{4} + Пи k, конец системы . \frac{Пи}{4} + 2 Пи n \leqslant x \leqslant \frac{5 Пи}{4} + 2 Пи n конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи}{4} + Пи k,x= \frac{Пи}{3} + 2 Пи k,x= Пи + 2 Пи k, конец совокупности . k, n \in Z$ $система выражений совокупность выражений \cos x + \cos 2x=0, \sin x - \cos x=0, конец системы . \sin x - \cos x\geqslant0 конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений 2 \cos^{2} x + \cos x - 1=0, \operatorname{tg} x=1, конец системы . \frac{Пи}{4} + 2 Пи n \leqslant x \leqslant \frac{5 Пи}{4} + 2 Пи n конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений \cos x= - 1, \cos x= \frac{1}{2} , \operatorname{tg} x=1, конец системы . \frac{Пи}{4} + 2 Пи n \leqslant x \leqslant \frac{5 Пи}{4} + 2 Пи n конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x= Пи + 2 Пи k,x=\pm \frac{Пи}{3} + 2 Пи k,x= \frac{Пи}{4} + Пи k, конец системы . \frac{Пи}{4} + 2 Пи n \leqslant x \leqslant \frac{5 Пи}{4} + 2 Пи n конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи}{4} + Пи k,x= \frac{Пи}{3} + 2 Пи k,x= Пи + 2 Пи k, конец совокупности . k, n \in Z$ $система выражений совокупность выражений \cos x + \cos 2x=0, \sin x - \cos x=0, конец системы . \sin x - \cos x\geqslant0 конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений 2 \cos^{2} x + \cos x - 1=0, \operatorname{tg} x=1, конец системы . \frac{Пи}{4} + 2 Пи n \leqslant x \leqslant \frac{5 Пи}{4} + 2 Пи n конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений \cos x= - 1, \cos x= \frac{1}{2} , \operatorname{tg} x=1, конец системы . \frac{Пи}{4} + 2 Пи n \leqslant x \leqslant \frac{5 Пи}{4} + 2 Пи n конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x= Пи + 2 Пи k,x=\pm \frac{Пи}{3} + 2 Пи k,x= \frac{Пи}{4} + Пи k, конец системы . \frac{Пи}{4} + 2 Пи n \leqslant x \leqslant \frac{5 Пи}{4} + 2 Пи n конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи}{4} + Пи k,x= \frac{Пи}{3} + 2 Пи k,x= Пи + 2 Пи k, конец совокупности . k, n \in Z$ $система выражений совокупность выражений \cos x + \cos 2x=0, \sin x - \cos x=0, конец системы . \sin x - \cos x\geqslant0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений 2 \cos^{2} x + \cos x - 1=0, \operatorname{tg} x=1, конец системы . \frac{Пи}{4} + 2 Пи n \leqslant x \leqslant \frac{5 Пи}{4} + 2 Пи n конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений \cos x= - 1, \cos x= \frac{1}{2} , \operatorname{tg} x=1, конец системы . \frac{Пи}{4} + 2 Пи n \leqslant x \leqslant \frac{5 Пи}{4} + 2 Пи n конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x= Пи + 2 Пи k,x=\pm \frac{Пи}{3} + 2 Пи k,x= \frac{Пи}{4} + Пи k, конец системы . \frac{Пи}{4} + 2 Пи n \leqslant x \leqslant \frac{5 Пи}{4} + 2 Пи n конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи}{4} + Пи k,x= \frac{Пи}{3} + 2 Пи k,x= Пи + 2 Пи k, конец совокупности . k, n \in Z$ б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[ - \frac{Пи}{2} ; \frac{Пи}{2} ] ,$ при помощи единичной окружности.