а) Решите уравнение $\sqrt{минус \cos 2x} = \cos x + \sin x$ б) Найдите

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) Избавимся от иррациональности: $\sqrt{минус \cos 2x} = \cos x + \sin x \Leftrightarrow система выражений \cos x + \sin x \geqslant 0, - \cos 2x = ( \cos x + \sin x )^{2} конец системы$ Решим уравнение системы: $1 - 2 \cos^{2} x = 1 + 2 \sin x \cos x \Leftrightarrow 2 \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x ( \sin x + \cos x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \sin x + \cos x = 0 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 0, \ctg x = - 1 конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи}{2} + Пи k, x = - \frac{Пи}{4} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$ [рисунок] Проверим выполнение неравенства $\cos x + \sin x \geqslant 0$ для найденных серий решений: $\cos ( - \frac{Пи}{4} + Пи k ) + \sin ( - \frac{Пи}{4} + Пи k ) = 0 при всех целых k,$ $\cos ( \frac{Пи}{2} + Пи k ) + \sin ( \frac{Пи}{2} + Пи k ) = \sin ( \frac{Пи}{2} + Пи k ) = система выражений 1, если число k чётное, - 1, если число k нечетное. конец системы$ Таким образом, подходят две серии корней: $x = - \frac{Пи}{4} + Пи k$ и $x = \frac{Пи}{2} + 2 Пи k,$ где $k \in Z$ б) Корни, принадлежащие отрезку $[ \frac{3 Пи}{2} ; 3 Пи ] ,$ отберем при помощи тригонометрической окружности (см. рис.).