а) Решите уравнение $\sqrt{4 \cos^{2} x + 6} + \sqrt{4 \sin^{2} x + 8}

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Используем формулу понижения порядка $\cos^{2} x = \frac{1}{2} ( 1 + \cos 2x ) ,$ получаем: $\sqrt{4 \cos^{2} x + 6} + \sqrt{4 \sin^{2} x + 8} = 6 \Leftrightarrow \sqrt{2 \cos 2x + 8} + \sqrt{10 - 2 \cos 2x} =6$ $\sqrt{4 \cos^{2} x + 6} + \sqrt{4 \sin^{2} x + 8} = 6 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{2 \cos 2x + 8} + \sqrt{10 - 2 \cos 2x} =6$ Сделаем замену переменной $t=2 \cos 2x,$ решим полученное уравнение $\sqrt{t + 8} + \sqrt{10 - t} = 6 \Leftrightarrow t + 8 + 10 - t + 2 \sqrt{t + 8} \sqrt{10 - t} = 36 \Leftrightarrow \sqrt{t + 8} \sqrt{10 - t} = 9\underset - 2 \leqslant t \leqslant 2 \mathop \Leftrightarrow$ $\mathop \Leftrightarrow - t^{2} + 2t + 80 = 81 \Leftrightarrow t^{2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow ( t - 1 )^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 1$ $\sqrt{t + 8} + \sqrt{10 - t} = 6 \Leftrightarrow t + 8 + 10 - t + 2 \sqrt{t + 8} \sqrt{10 - t} = 36 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{t + 8} \sqrt{10 - t} = 9\underset - 2 \leqslant t \leqslant 2 \mathop \Leftrightarrow - t^{2} + 2t + 80 = 81 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t^{2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow ( t - 1 )^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 1$ $\sqrt{t + 8} + \sqrt{10 - t} = 6 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t + 8 + 10 - t + 2 \sqrt{t + 8} \sqrt{10 - t} = 36 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{t + 8} \sqrt{10 - t} = 9\underset - 2 \leqslant t \leqslant 2 \mathop \Leftrightarrow - t^{2} + 2t + 80 = 81 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow t^{2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow ( t - 1 )^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 1$ Таким образом, $2 \cos 2x = 1 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{Пи}{3} + 2 Пи k \Leftrightarrow x = \pm \frac{Пи}{6} + Пи k, k \in Z$ б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности.