а) Решите уравнение $\sqrt{3} ( \cos 4 x + 1 ) =2 \cos 2 x ( 2 - \cos 4

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) По формуле косинуса удвоенного угла справедливо тождество $\cos 4x = 2 \cos^{2} 2x - 1$ Подставляя, получаем: $\sqrt{3} ( \cos 4 x + 1 ) =2 \cos 2 x ( 2 - \cos 4 x ) \Leftrightarrow 2 \sqrt{3} \cos^{2} 2 x=2 \cos 2 x ( 3 - 2 \cos^{2} 2 x ) \Leftrightarrow$

   $\Leftrightarrow \cos 2 x ( 2 \cos^{2} 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x - 3 ) =0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos 2x=0, \cos 2x= \frac{\sqrt{3}}{2} , \cos 2x= - \sqrt{3} конец совокупности . \underset	\cos 2x	\leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow$
   $\underset	\cos 2x	\leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow совокупность выражений \cos 2x=0, \cos 2x= \frac{\sqrt{3}}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений 2x= \frac{Пи}{2} + Пи k, 2x= \pm \frac{Пи}{6} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи}{4} + \frac{Пи k}{2} , x= \pm \frac{Пи}{12} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$$\sqrt{3} ( \cos 4 x + 1 ) =2 \cos 2 x ( 2 - \cos 4 x ) \Leftrightarrow$

   $\Leftrightarrow 2 \sqrt{3} \cos^{2} 2 x=2 \cos 2 x ( 3 - 2 \cos^{2} 2 x ) \Leftrightarrow$

   $\Leftrightarrow \cos 2 x ( 2 \cos^{2} 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x - 3 ) =0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos 2x=0, \cos 2x= \frac{\sqrt{3}}{2} , \cos 2x= - \sqrt{3} конец совокупности . \underset	\cos 2x	\leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow$
   $\underset	\cos 2x	\leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow совокупность выражений \cos 2x=0, \cos 2x= \frac{\sqrt{3}}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений 2x= \frac{Пи}{2} + Пи k, 2x= \pm \frac{Пи}{6} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи}{4} + \frac{Пи k}{2} , x= \pm \frac{Пи}{12} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$$\sqrt{3} ( \cos 4 x + 1 ) =2 \cos 2 x ( 2 - \cos 4 x ) \Leftrightarrow$

   $\Leftrightarrow 2 \sqrt{3} \cos^{2} 2 x=2 \cos 2 x ( 3 - 2 \cos^{2} 2 x ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \cos 2 x ( 2 \cos^{2} 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x - 3 ) =0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos 2x=0, \cos 2x= \frac{\sqrt{3}}{2} , \cos 2x= - \sqrt{3} конец совокупности . \underset | \cos 2x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow совокупность выражений \cos 2x=0, \cos 2x= \frac{\sqrt{3}}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений 2x= \frac{Пи}{2} + Пи k, 2x= \pm \frac{Пи}{6} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x= \frac{Пи}{4} + \frac{Пи k}{2} , x= \pm \frac{Пи}{12} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$ б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[ - 4 Пи ; - \frac{5 Пи}{2} ]$ при помощи тригонометрической окружности (см. рис.).