Присоединиться

11 класс·средний уровень

а) Решите уравнение $\sqrt{2} \sin 2 x \cdot \sin ( x - \frac{Пи}{4} )

Условие

а) Решите уравнение 2sin⁡2x⋅sin⁡(x−Пи4)=2sin⁡3Пи4\sqrt{2} \sin 2 x \cdot \sin ( x - \frac{Пи}{4} ) =2 \sin \frac{3 Пи}{4} б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [ - 3 Пи ; 5 Пи ]

Ответ

Ответ и полный разбор откроются после входа

Посмотреть ответ

Решение по шагам

  1. Как рассуждать

    Решение. а) Применим формулу синуса разности: 2sin⁡(x−Пи4)=2(sin⁡x⋅cos⁡Пи4−cos⁡x⋅sin⁡Пи4)=2(sin⁡x⋅12−cos⁡x⋅12)=sin⁡x−cos⁡x\sqrt{2} \sin ( x - \frac{Пи}{4} ) = \sqrt{2} ( \sin x \cdot \cos \frac{Пи}{4} - \cos x \cdot \sin \frac{Пи}{4} ) = \sqrt{2} ( \sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} ) = \sin x - \cos x 2sin⁡(x−Пи4)=2(sin⁡x⋅cos⁡Пи4−cos⁡x⋅sin⁡Пи4)=\sqrt{2} \sin ( x - \frac{Пи}{4} ) = \sqrt{2} ( \sin x \cdot \cos \frac{Пи}{4} - \cos x \cdot \sin \frac{Пи}{4} ) = =2(sin⁡x⋅12−cos⁡x⋅12)=sin⁡x−cos⁡x= \sqrt{2} ( \sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} ) = \sin x - \cos x Тогда уравнение принимает вид (sin⁡x−cos⁡x)⋅sin⁡2x=2( \sin x - \cos x ) \cdot \sin 2x = \sqrt{2} Положим, t=sin⁡x−cos⁡x,t= \sin x - \cos x, тогда sin⁡2x=2sin⁡x⋅cos⁡x=1−(sin⁡x−cos⁡x)2=1−t2,\sin 2x=2 \sin x \cdot \cos x=1 - ( \sin x - \cos x )^{2} =1 - t^{2} , откуда t(1−t2)=2⇔t3−t+2=0⇔(t3+23)−(t+2)=0⇔t ( 1 - t^{2} ) = \sqrt{2} \Leftrightarrow t^{3} - t + \sqrt{2} =0 \Leftrightarrow ( t^{3} + \sqrt{2}^{3} ) - ( t + \sqrt{2} ) =0 \Leftrightarrow ⇔(t+2)(t2−2t+2)−(t+2)=0⇔\Leftrightarrow ( t + \sqrt{2} ) ( t^{2} - \sqrt{2} t + 2 ) - ( t + \sqrt{2} ) =0 \Leftrightarrow ⇔(t+2)(t2−2t+1)=0⇔совокупностьвыраженийt=−2,t2−2t+1=0,конецсовокупности.⇔t=−2\Leftrightarrow ( t + \sqrt{2} ) ( t^{2} - \sqrt{2} t + 1 ) =0 \Leftrightarrow совокупность выражений t= - \sqrt{2} ,t^{2} - \sqrt{2} t + 1=0, конец совокупности . \Leftrightarrow t= - \sqrt{2} t(1−t2)=2⇔t3−t+2=0⇔t ( 1 - t^{2} ) = \sqrt{2} \Leftrightarrow t^{3} - t + \sqrt{2} =0 \Leftrightarrow ⇔(t3+23)−(t+2)=0⇔\Leftrightarrow ( t^{3} + \sqrt{2}^{3} ) - ( t + \sqrt{2} ) =0 \Leftrightarrow ⇔(t+2)(t2−2t+2)−(t+2)=0⇔\Leftrightarrow ( t + \sqrt{2} ) ( t^{2} - \sqrt{2} t + 2 ) - ( t + \sqrt{2} ) =0 \Leftrightarrow ⇔(t+2)(t2−2t+1)=0⇔\Leftrightarrow ( t + \sqrt{2} ) ( t^{2} - \sqrt{2} t + 1 ) =0 \Leftrightarrow ⇔совокупностьвыраженийt=−2,t2−2t+1=0,конецсовокупности.⇔t=−2\Leftrightarrow совокупность выражений t= - \sqrt{2} ,t^{2} - \sqrt{2} t + 1=0, конец совокупности . \Leftrightarrow t= - \sqrt{2} Вернемся к исходной переменной: sin⁡x−cos⁡x=−2⇔2sin⁡(x−Пи4)=−2⇔\sin x - \cos x = - \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin ( x - \frac{Пи}{4} ) = - \sqrt{2} \Leftrightarrow ⇔sin⁡(x−Пи4)=−1⇔x−Пи4=−Пи2+2Пиk⇔x=−Пи4+2Пиk,k∈Z\Leftrightarrow \sin ( x - \frac{Пи}{4} ) = - 1 \Leftrightarrow x - \frac{Пи}{4} = - \frac{Пи}{2} + 2 Пи k \Leftrightarrow x= - \frac{Пи}{4} + 2 Пи k , k \in Z sin⁡x−cos⁡x=−2⇔2sin⁡(x−Пи4)=−2⇔\sin x - \cos x = - \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{2} \sin ( x - \frac{Пи}{4} ) = - \sqrt{2} \Leftrightarrow ⇔sin⁡(x−Пи4)=−1⇔\Leftrightarrow \sin ( x - \frac{Пи}{4} ) = - 1 \Leftrightarrow ⇔x−Пи4=−Пи2+2Пиk⇔x=−Пи4+2Пиk,k∈Z\Leftrightarrow x - \frac{Пи}{4} = - \frac{Пи}{2} + 2 Пи k \Leftrightarrow x= - \frac{Пи}{4} + 2 Пи k , k \in Z б) Определим корни, лежащие на отрезке [ - 3 Пи ; 5 Пи ] : минус3Пи⩽−Пи4+2Пиk⩽5Пи⇔−3⩽−14+2k⩽5⇔минус 3 Пи \leqslant - \frac{Пи}{4} + 2 Пи k \leqslant 5 Пи \Leftrightarrow - 3 \leqslant - \frac{1}{4} + 2k \leqslant 5 \Leftrightarrow ⇔−целаячасть:2,дробнаячасть:числитель:3,знаменатель:4⩽2k⩽целаячасть:5,дробнаячасть:числитель:1,знаменатель:4⇔−целаячасть:1,дробнаячасть:числитель:3,знаменатель:8⩽2k⩽целаячасть:2,дробнаячасть:числитель:5,знаменатель:8⇔k=−1,0,1,2\Leftrightarrow - целая часть: 2, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 \leqslant 2k \leqslant целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 4 \Leftrightarrow - целая часть: 1, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 8 \leqslant 2k \leqslant целая часть: 2, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 8 \Leftrightarrow k = - 1, 0, 1, 2 минус3Пи⩽−Пи4+2Пиk⩽5Пи⇔минус 3 Пи \leqslant - \frac{Пи}{4} + 2 Пи k \leqslant 5 Пи \Leftrightarrow ⇔−3⩽−14+2k⩽5⇔−целаячасть:2,дробнаячасть:числитель:3,знаменатель:4⩽2k⩽целаячасть:5,дробнаячасть:числитель:1,знаменатель:4⇔\Leftrightarrow - 3 \leqslant - \frac{1}{4} + 2k \leqslant 5 \Leftrightarrow - целая часть: 2, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 4 \leqslant 2k \leqslant целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 4 \Leftrightarrow ⇔−целаячасть:1,дробнаячасть:числитель:3,знаменатель:8⩽2k⩽целаячасть:2,дробнаячасть:числитель:5,знаменатель:8⇔k=−1,0,1,2\Leftrightarrow - целая часть: 1, дробная часть: числитель: 3, знаменатель: 8 \leqslant 2k \leqslant целая часть: 2, дробная часть: числитель: 5, знаменатель: 8 \Leftrightarrow k = - 1, 0, 1, 2 Найденным значениям параметра соответствуют корни минус9Пи4,минус \frac{9 Пи}{4} , минусПи4,минус \frac{Пи}{4} , 7Пи4,\frac{7 Пи}{4} , 15Пи4\frac{15 Пи}{4}

Осталось ещё 6 шагов

  1. При этом могут появиться посторонние корни…

  2. Имеем: ^2 2x ( x - x )^2 = 2 ^2 2x ( 1 - 2 x…

  3. При нечетных значениях k, используя…

  4. Приведем другое решение п. а).Упростим правую…

  5. Решим второе уравнение второй системы: ( x…

  6. Приведем еще одно решение уравнения…

Получить полное решение

Бесплатно · займёт минуту

Другие задачи по теме «Уравнения»

X - \frac{1}{2} ) - 8 \cdot 3 в степени ( x - 1 ) + 5=0$ б) Найдите все11 класса) Решите уравнение: $4 в степени ( x ) - 2 в степени ( x + 3 ) + 15=0$11 класса) Решите уравнение $27^{x} - 5 \cdot 9^{x} - 3 в степени ( x + 2 ) +11 классX^{2} - 2x + 1 ) + 4 в степени ( x^{2} - 2x ) =20$ б) Найдите все корни11 класса) Решите уравнение $3 \cdot 9 в степени ( x - \frac{1}{2} ) - 7 \cdot11 класс
Похожая задача?Сфотографируйте своё условие — ИИ разберёт его по шагам так же
а) Решите уравнение $\sqrt{2} \sin 2 x \cdot \sin ( x - \frac{Пи}{4} ) — решение с объяснением | Lom Ai