а) Решите уравнение $\sqrt{2 \cos^{2} x - 4 \cos x + 3} = \sqrt{\cos x

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) Последовательно получаем: $\sqrt{2 \cos^{2} x - 4 \cos x + 3} = \sqrt{\cos x + 6} \Leftrightarrow система выражений \cos x + 6 \geqslant 0,2 \cos^{2} x - 4 \cos x + 3 = \cos x + 6 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant - 6,2 \cos^{2} x - 5 \cos x - 3 = 0 конец системы . \underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow 2 \cos^{2} x - 5 \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 3, \cos x = - \frac{1}{2} конец совокупности . \underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k,x = - \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $\sqrt{2 \cos^{2} x - 4 \cos x + 3} = \sqrt{\cos x + 6} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x + 6 \geqslant 0,2 \cos^{2} x - 4 \cos x + 3 = \cos x + 6 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant - 6,2 \cos^{2} x - 5 \cos x - 3 = 0 конец системы . \underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow$ $\underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow 2 \cos^{2} x - 5 \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 3, \cos x = - \frac{1}{2} конец совокупности . \underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow$ $\underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k,x = - \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $\sqrt{2 \cos^{2} x - 4 \cos x + 3} = \sqrt{\cos x + 6} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x + 6 \geqslant 0,2 \cos^{2} x - 4 \cos x + 3 = \cos x + 6 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant - 6,2 \cos^{2} x - 5 \cos x - 3 = 0 конец системы . \underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow$ $\underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow 2 \cos^{2} x - 5 \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 3, \cos x = - \frac{1}{2} конец совокупности . \underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow$ $\underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k,x = - \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $\sqrt{2 \cos^{2} x - 4 \cos x + 3} = \sqrt{\cos x + 6} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x + 6 \geqslant 0,2 \cos^{2} x - 4 \cos x + 3 = \cos x + 6 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant - 6,2 \cos^{2} x - 5 \cos x - 3 = 0 конец системы . \underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow$ $\underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow 2 \cos^{2} x - 5 \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \cos x = 3, \cos x = - \frac{1}{2} конец совокупности . \underset | \cos x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow \cos x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k,x = - \frac{2 Пи}{3} + 2 Пи k, конец совокупности . k \in Z$ б) Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку $[ \frac{7 Пи}{2} ; 5 Пи ] ,$ при помощи тригонометрической окружности.