а) Решите уравнение $\sqrt{2} ( 1 - \cos 4 x ) = 2 \sin 2 x ( 1 + \cos

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] а) По формуле косинуса двойного угла справедливы тождества $1 - \cos 4x = 2 \sin^{2} 2x,$ $1 + \cos 4x = 2 \cos^{2} 2x,$ Подставляя, получаем: $\sqrt{2} ( 1 - \cos 4 x ) = 2 \sin 2 x ( 1 + \cos 4 x ) \Leftrightarrow 2 корень из 2 \sin^{2} 2x = 4 \sin 2x \cos^{2} 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin 2x ( 2 \cos^{2} 2x - корень из 2 \sin 2x ) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x ( 2 ( 1 - \sin^{2} 2x ) - корень из 2 \sin 2x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin 2x ( 2 - 2 \sin^{2} 2x - корень из 2 \sin 2x ) = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \sin 2x = 0, \sin 2x = \frac{корень из 2}{2} , \sin 2x = - корень из 2 конец совокупности . \underset | \sin 2x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow$ $\mathop \Leftrightarrow совокупность выражений \sin 2x = 0, \sin 2x = \frac{корень из 2}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений 2x = Пи k, 2x = \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, 2x = \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи k}{2} , x = \frac{Пи}{8} + Пи k, x = \frac{3 Пи}{8} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $\sqrt{2} ( 1 - \cos 4 x ) = 2 \sin 2 x ( 1 + \cos 4 x ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 корень из 2 \sin^{2} 2x = 4 \sin 2x \cos^{2} 2x \Leftrightarrow \sin 2x ( 2 \cos^{2} 2x - корень из 2 \sin 2x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin 2x ( 2 ( 1 - \sin^{2} 2x ) - корень из 2 \sin 2x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin 2x ( 2 - 2 \sin^{2} 2x - корень из 2 \sin 2x ) = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \sin 2x = 0, \sin 2x = \frac{корень из 2}{2} , \sin 2x = - корень из 2 конец совокупности . \underset | \sin 2x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow$ $\mathop \Leftrightarrow совокупность выражений \sin 2x = 0, \sin 2x = \frac{корень из 2}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений 2x = Пи k, 2x = \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, 2x = \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи k}{2} , x = \frac{Пи}{8} + Пи k, x = \frac{3 Пи}{8} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $\sqrt{2} ( 1 - \cos 4 x ) = 2 \sin 2 x ( 1 + \cos 4 x ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 корень из 2 \sin^{2} 2x = 4 \sin 2x \cos^{2} 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin 2x ( 2 \cos^{2} 2x - корень из 2 \sin 2x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin 2x ( 2 ( 1 - \sin^{2} 2x ) - корень из 2 \sin 2x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin 2x ( 2 - 2 \sin^{2} 2x - корень из 2 \sin 2x ) = 0 \Leftrightarrow совокупность выражений \sin 2x = 0, \sin 2x = \frac{корень из 2}{2} , \sin 2x = - корень из 2 конец совокупности . \underset | \sin 2x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow$ $\mathop \Leftrightarrow совокупность выражений \sin 2x = 0, \sin 2x = \frac{корень из 2}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений 2x = Пи k, 2x = \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, 2x = \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи k}{2} , x = \frac{Пи}{8} + Пи k, x = \frac{3 Пи}{8} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$ $\sqrt{2} ( 1 - \cos 4 x ) = 2 \sin 2 x ( 1 + \cos 4 x ) \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow 2 корень из 2 \sin^{2} 2x = 4 \sin 2x \cos^{2} 2x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin 2x ( 2 \cos^{2} 2x - корень из 2 \sin 2x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin 2x ( 2 ( 1 - \sin^{2} 2x ) - корень из 2 \sin 2x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sin 2x ( 2 - 2 \sin^{2} 2x - корень из 2 \sin 2x ) = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений \sin 2x = 0, \sin 2x = \frac{корень из 2}{2} , \sin 2x = - корень из 2 конец совокупности . \underset | \sin 2x| \leqslant 1 \mathop \Leftrightarrow совокупность выражений \sin 2x = 0, \sin 2x = \frac{корень из 2}{2} конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow совокупность выражений 2x = Пи k, 2x = \frac{Пи}{4} + 2 Пи k, 2x = \frac{3 Пи}{4} + 2 Пи k конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = \frac{Пи k}{2} , x = \frac{Пи}{8} + Пи k, x = \frac{3 Пи}{8} + Пи k, конец совокупности . k \in Z$ б) Отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку $[ 6 Пи ; \frac{15 Пи}{2} ]$ при помощи тригонометрической окружности.