а) Решите уравнение $\sqrt{1 - \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{2}}

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. а) По формулам приведения $\sin ( \frac{5 Пи}{2} + x ) = \cos x,$ откуда находим: $\sqrt{1 - \frac{1}{2} \sin x} = \cos x \Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant 0, 1 - \frac{1}{2} \sin x = \cos^{2} x конец системы . \Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant 0, 2 - \sin x = 2 - 2 \sin^{2} x конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant 0, 2 \sin^{2} x - \sin x = 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant 0, совокупность выражений \sin x = 0, \sin x = \frac{1}{2} конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant 0, совокупность выражений x = Пи k, x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи m, x = \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи n конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = 2 Пи k, x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи m, конец совокупности . k, m \in Z$ $\sqrt{1 - \frac{1}{2} \sin x} = \cos x \Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant 0, 1 - \frac{1}{2} \sin x = \cos^{2} x конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant 0, 2 - \sin x = 2 - 2 \sin^{2} x конец системы . \Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant 0, 2 \sin^{2} x - \sin x = 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant 0, совокупность выражений \sin x = 0, \sin x = \frac{1}{2} конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant 0, совокупность выражений x = Пи k, x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи m, x = \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи n конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = 2 Пи k, x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи m, конец совокупности . k, m \in Z$ $\sqrt{1 - \frac{1}{2} \sin x} = \cos x \Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant 0, 1 - \frac{1}{2} \sin x = \cos^{2} x конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant 0, 2 - \sin x = 2 - 2 \sin^{2} x конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant 0, 2 \sin^{2} x - \sin x = 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant 0, совокупность выражений \sin x = 0, \sin x = \frac{1}{2} конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos x \geqslant 0, совокупность выражений x = Пи k, x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи m, x = \frac{5 Пи}{6} + 2 Пи n конец системы . конец совокупности . \Leftrightarrow совокупность выражений x = 2 Пи k, x = \frac{Пи}{6} + 2 Пи m, конец совокупности . k, m \in Z$ б) Отберем корни при помощи двойных неравенств.