а) Решите уравнение $\sqrt{1 + \sin 2x} - \sqrt{2} \cos 3x = 0$ б)

Решение по шагам

1. 1

   Как рассуждать

   Решение. [рисунок] Рис. 1а) Преобразуем уравнение: $\sqrt{1 + \sin 2x} - \sqrt{2} \cos 3x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{2} \cos 3x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 1 + \sin 2x = 2 \cos^{2} 3x, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \sin 2x = \cos 6x, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \cos ( \frac{Пи}{2} - 2x ) - \cos 6x = 0, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений - 2 \sin \frac{\frac{Пи}{2} - 2x + 6x}{2} \sin \frac{\frac{Пи}{2} - 2x - 6x}{2} = 0, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \sin ( 2x + \frac{Пи}{4} ) \sin ( 4x - \frac{Пи}{4} ) = 0, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений 2x + \frac{Пи}{4} = Пи k, 4x - \frac{Пи}{4} = Пи k, конец системы . \cos 3x \geqslant 0 конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x = - \frac{Пи}{8} + \frac{Пи k}{2} , ( 1 ) x = \frac{Пи}{16} + \frac{Пи k}{4} , ( 2 ) конец системы . \cos 3x \geqslant 0, конец совокупности . k \in Z$ $\sqrt{1 + \sin 2x} - \sqrt{2} \cos 3x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{2} \cos 3x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 1 + \sin 2x = 2 \cos^{2} 3x, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \sin 2x = \cos 6x, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos ( \frac{Пи}{2} - 2x ) - \cos 6x = 0, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений - 2 \sin \frac{\frac{Пи}{2} - 2x + 6x}{2} \sin \frac{\frac{Пи}{2} - 2x - 6x}{2} = 0, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \sin ( 2x + \frac{Пи}{4} ) \sin ( 4x - \frac{Пи}{4} ) = 0, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений 2x + \frac{Пи}{4} = Пи k, 4x - \frac{Пи}{4} = Пи k, конец системы . \cos 3x \geqslant 0 конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x = - \frac{Пи}{8} + \frac{Пи k}{2} , ( 1 ) x = \frac{Пи}{16} + \frac{Пи k}{4} , ( 2 ) конец системы . \cos 3x \geqslant 0, конец совокупности . k \in Z$ $\sqrt{1 + \sin 2x} - \sqrt{2} \cos 3x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{2} \cos 3x \Leftrightarrow система выражений 1 + \sin 2x = 2 \cos^{2} 3x, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \sin 2x = \cos 6x, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \cos ( \frac{Пи}{2} - 2x ) - \cos 6x = 0, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений - 2 \sin \frac{\frac{Пи}{2} - 2x + 6x}{2} \sin \frac{\frac{Пи}{2} - 2x - 6x}{2} = 0, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \sin ( 2x + \frac{Пи}{4} ) \sin ( 4x - \frac{Пи}{4} ) = 0, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений 2x + \frac{Пи}{4} = Пи k, 4x - \frac{Пи}{4} = Пи k, конец системы . \cos 3x \geqslant 0 конец совокупности . \Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x = - \frac{Пи}{8} + \frac{Пи k}{2} , ( 1 ) x = \frac{Пи}{16} + \frac{Пи k}{4} , ( 2 ) конец системы . \cos 3x \geqslant 0, конец совокупности . k \in Z$ $\sqrt{1 + \sin 2x} - \sqrt{2} \cos 3x = 0 \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow \sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{2} \cos 3x \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений 1 + \sin 2x = 2 \cos^{2} 3x, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow система выражений \sin 2x = \cos 6x, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \cos ( \frac{Пи}{2} - 2x ) - \cos 6x = 0, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений - 2 \sin \frac{\frac{Пи}{2} - 2x + 6x}{2} \sin \frac{\frac{Пи}{2} - 2x - 6x}{2} = 0, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений \sin ( 2x + \frac{Пи}{4} ) \sin ( 4x - \frac{Пи}{4} ) = 0, \cos 3x \geqslant 0 конец системы . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений 2x + \frac{Пи}{4} = Пи k, 4x - \frac{Пи}{4} = Пи k, конец системы . \cos 3x \geqslant 0 конец совокупности . \Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow система выражений совокупность выражений x = - \frac{Пи}{8} + \frac{Пи k}{2} , ( 1 ) x = \frac{Пи}{16} + \frac{Пи k}{4} , ( 2 ) конец системы . \cos 3x \geqslant 0, конец совокупности . k \in Z$ [рисунок] Рис. 2Отметим корни полученных серий и область допустимых значений на единичной окружности.